余弦定理公式(题目).doc

正弦、余弦定理解斜三角形
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(1)内角和定理:A+B+C=180°,sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,
cos=sin, sin=cos
(2)面积公式:S=absinC=bcsinA=casinB
S= pr = (其中p=, r为内切圆半径)
(3)射影定理:a = bcosC + ccosB;b = acosC + ccosA;c = acosB + bcosA
:
证明:由三角形面积
得
画出三角形的外接圆及直径易得:
:a2=b2+c2-osA, ;
证明:如图ΔABC中,
当A、B是钝角时,类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。
要掌握正弦定理、余弦定理及其变形,结合三角公式,能解有关三角形中的问题.
,可以解决以下两类问题:(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角;
有三种情况:bsinA<a<b时有两解;a=bsinA或a=b时有解;a<bsinA时无解。
,可以解决以下两类问题:
(1)已知三边,求三角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角。
,能在应用题中抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法;提高运用所学知识解决实际问题的能力
练习
1.(2006山东)在中,角的对边分别为,已知,则( )
C. D.
△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为( )
A. B. C. D.
3.(2002年上海)在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是


4. (2006全国Ⅰ)用长度分别为2、3、4、5、6(单位:)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为( )
A. B. C. D.
5.(2006全国Ⅱ)已知的三个内角A、B、C成等差数列,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为_________.
6.(2006春上海)在△中,已知,三角形面积为12,则
.
四、经典例题做一做
【例1】(2006天津)如图,在中,,,.
(1)求的值;
(2)求的值.
【例2】在ΔABC中,已知a=,b=,B=45°,求A,C及边c.
【例3】(2006上海)如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30,相距10海里C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到)?
_
10
_
A
_
?
_
20
_
C
_
B
【例4】已知⊙O的半径为R,,在它的内接三角形ABC中,有
成立,求△ABC面积S的最大值.
【】
(2006江西)如图,已知△是边长为的正三角形, 、分别是边、上的点,线段经过△
.
试将△、△的面积(分别记为与)表示为的函数;
求的最大值与最小值.
提炼总结
1.