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几种常见的证明方法
一、综合法
常见书面表达“∵,∴”或“[?]”.
例1 [a,b,c]为互不相等的正数,且[abc=1].
求证:[1a+1b+1c>a+b+c].
解析方法1 由左式[?]右式.
∵[abc=1],且[a,b,c]为互不相等的正数,
∴[1a+1b+1c=bc+ac+ab]
[=bc+ac2+ac+ab2+ab+bc2]
>[bc?ac+ac?ab+ab?bc=a+b+c].
方法2 右式[?]左式.
∵[a,b,c]为互不相等的正数,且[abc=1].
∴[a+b+c]=[1bc+1ac+1ab]
[<1b+1c2+1a+1c2+1a+1b2]=[1a+1b+1c].
点拨综合法的特点是:从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是在寻找它的必要条件.
二、分析法
常见的书面表达是“要证……只需证……”或“[?]”.
例2 已知函数[f(x)=tanx],[x∈(0,π2)],若[x1,x2∈(0,π2)],且[x1≠x2.]
求证:[12f(x1)+f(x2)>f(x1+x22)].
解析要证[12f(x1)+f(x2)>f(x1+x22)] ,
即证明[12(tanx1+tanx2)>tanx1+x22],
只需证明[12(sinx1cosx1+sinx2cosx2)>tanx1+x22],
只需证明[sin(x1+x2)2cosx1cosx2>sin(x1+x2)1+cos(x1+x2)],
由于[x1],[x2][∈(0,π2)],故[x1]+[x2][∈(0,π)].
∴[cosx1cosx2>0],[sin(x1+x2)>0],
[1+cos(x1+x2)>0].
故只需证明[1+cos(x1+x2)>2cosx1cosx2],
即证[1+cosx1cosx2-sinx1sinx2>2cosx1cosx2,]
即证[cos(x1-x2)<1].
又[x1],[x2][∈(0,π2)],[x1≠x2],上式显然成立,
因此,[12f(x1)+f(x2)>f(x1+x22)].
点拨分析法的特点是:从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,,分析法不如综合法,在实际解题时,常常需要将分析法和综合法结合起来,一方面执果索因,追溯待证结论成立所需要的条件;另一方面由因导果,探索由已知条件必然产生的种种结果,当两种思路接通时,问题便解决了.
三、反证法
反证法的证明思路是:假设结论不成立[→]推导矛盾(归谬)[→],反证法的实质是证原命题的逆否命题.
例3 等差数列[{an}]的前[n]项和为[Sn],[a1=1+2],[S3=9+32.]
(1)求数列[{an}]的通项[an]与前[n]项和[Sn];
(2)设[bn=Snn]([n][∈]N+),求证:数列[{bn}]中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
解析(1)由已知得[a1=2+1,3a1+3d=9+32,]∴[d=2.]
故[an=2n-1+2],[Sn=n