高等数学
第一章函数与极限
§8 函数的连续性与间断点
二、函数的间断点
一、函数连续性的定义
第八节
函数的连续性与间断点
可见, 函数
在点
一、函数连续性的定义
定义:
在
的某邻域内有定义,
则称函数
(1)
在点
即
(2) 极限
(3)
设函数
连续必须具备下列条件:
存在;
且
有定义,
存在;
若
在某区间上每一点都连续,
则称它在该区间上
连续,
或称它为该区间上的连续函数.
例如,
在
上连续.
( 有理整函数)
又如, 有理分式函数
在其定义域内连续.
在闭区间
上的连续函数的集合记作
对自变量的增量
有函数的增量
左连续
右连续
当
时, 有
函数
在点
连续有下列等价命题:
例. 证明函数
在
内连续.
证:
即
这说明
在
内连续.
同样可证: 函数
在
内连续.
为其无穷间断点.
为其振荡间断点.
为可去间断点.
例如:
显然
为其可去间断点.
(4)
(5)
为其跳跃间断点.
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