圆.板块五.圆的规划问题.学生版.doc

典例分析
如果实数、满足,则的最大值为( )
A. B. C. D.
【考点】圆的规划问题
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】等式有明显的几何意义,它表坐标平面上的一个圆,圆心为
,半径,(如图),,该问题可转化为如下几何问题:动点在以为圆心,以为半径的圆上移动,求直线的斜率的最大值,由图可见,当在第一象限,且与圆相切时,的斜率最大,经简单计算,得最大值为

【答案】D;
若集合,集合且,则的取值范围为______________.
【考点】圆的规划问题
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】,显然,表示以为圆心,以3为半
径的圆在轴上方的部分,(如图),而则表示一条直线,其斜率,纵截距为
,由图形易知,欲使,即是使直线与半圆有公共点,显然的最小逼近值为,最大值为,即

【答案】
试求圆(为参数)上的点到点距离的最大(小)值.
【考点】圆的规划问题
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】分析利用两点间距离公式求解或数形结合求解.
解法一设是圆上任一点,
.
因为,所以,因此
当时,.
当时,.
解法二将圆代入普通方程得.
如图所示可得,、分别是圆上的点到的距离的最小值和最大值.
易知:,.
说明⑴在圆的参数方程(为参数)中,为圆心,为半径,参数的
几何意义是:,常常用来表示半径为的圆上的任一点.
⑵圆的参数方程也是解决某些代数问题的一个重要工具.
【答案】最大值为,最小值为.
已知,,点在圆上运动,则的最小值是.
【考点】圆的规划问题
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】设,则
.设圆心为,则,∴的最小值为.
【答案】.
已知圆,为圆上任一点,求的最大、最小值,求的最大、最小值.
【考点】圆的规划问题
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】方法一由知,可设的坐标为,是参数.
则,令,
得,
.
所以,.
即的最大值为,最小值为.
此时.
所以的最大值为,最小值为.
方法二表示点与点连线的斜率,其中点为圆上的动点,
结合图象知,要求斜率的最值,只须求出过点的圆的切线的斜率即可,
设过点的直线方程为:.
由,得,
所以的最大值为,最小值为.
令,同理两条切线在轴上的截距分别是的最大、最小值.
由,得.
所以的最大值为,最小值为.
【答案】最大值为,最小值为.
求函数的值域.
【考点】圆的规划问题
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】,于是,
其几何意义为单位圆上的任一点与点的连线的斜率.
结合图象知:过点与单位圆相切的直线的斜率为,,
连线的斜率的取值范围为,从而此函数的值域为.
【答案】
设,,求的最小值.
【考点】圆的规划问题
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】分析式子的几何意义,它表示两点与的距离的平方,
前者在半圆上,后者在直线上,
结合简图知:半圆上的点到该直线的距离的最小值为,
从而所求的最小值为.
【答案】
实数满足,求的最大值与最小值.
【考点】圆的规划问题
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】方法一变形得:,此方程表示一条直线.
又∵满足,故直线与圆有公共点.
故,解得.
由于直线与圆无公共点,因此, 为所求.
即的最大值为,最小值为.
方法二设,,
则,
①几何意义为单位圆上的点与点连线的斜率,
求过点的单位圆切线的斜率:,,
从而的最大值为,最小值为.
②由此式得,
从而,解得,
因此的最大值为,最小值为.
【答案】最大值为,最小值为.
已知圆,为圆上的动点,求的最大、最小值.
【考点】圆的规划问题
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】方法一由圆的标准方程.
可设点的坐标为(是参数).
则
(其中).
所以,.
方法二是圆上点到原点距离的平方,
∴要求的最值,即求圆上距离原点距离最远和最近的点.
结合图象知:距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径,距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径.
所以,.
【答案】最大值为,最小值为.
若,求函数的最小值.
【考点】圆的规划问题
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】,
先求点与直线的距离为,
.
【答案】.
设点是圆是任一点,求的取值范围.
【考点】圆的规划问题
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【