全特征子群,特征子群,正规子群的关系.docx

《近 世 代 数》论文
课程:《近世代数》
姓名: XXX
学号: XXXXXXX
专业: XXXXXXXXXXXXX
全特征子群,特征子群,正规子群的关系
内容: 1)引入群的定理
2)表述其关系
3)证明并且举例
4)总结
摘 要: 本论文通过对近世代数的一些基本定理及相关性质的阐述,如:全
特征子群,特征子群,正规子群等等。从而推导出全特征字群,特征子群,正规
子群间的关系。 本文的结构是先从相关的定理及相关性质着手, 然后根据定理及
相关性质来推导全特征字群, 特征子群, 正规子群间的关系。 本文先从全特征子
群开始研究,依次为特征子群,正规子群。经过本文对全特征字群,特征子群,
正规子群的研究, 我发现了其规律: 全特征子群包含与特征子群, 特征子群包含
于正规子群 ;全特征子群特征子群 正规子群。
一、有关群的定理
定理 1 设 H是群 G的一个子群,如果 H 对 G的每个自同态映射都不变,既
对每个自同态映射 θ 都有
θ( H)∈ H,
则称 H 为群 G的一个全特征子群。
定理 2 设 H是群 G的一个子群, a∈G。则称群 G的子集 aH={ax|x ∈H}为
群 H 关于子群 H 的一个左陪集。而称 Ha={xa|x ∈H}为群 G关于子群 H 的一个
右陪集。
左陪集的相关性质 :⑴如果 a∈H,则 a∈aH。
⑵a∈H ﹤﹦﹥ aH=H
⑶b∈aH﹤﹦﹥ aH=bH
⑷aH=bH,即 a 与 b 同在一个作陪集中﹤﹦﹥ a b ∈H(b ∈H)
⑸若 aH∩bH≠空集,则 aH=bH
定理 3 对群 G的所有自同构都不变的子群,亦即对 G的任何自同构 ε 都
有
ε( N)∈N
的子群 N,叫做 G的一个特征子群。
∪
定理 4 如果用 aH,bH,cH,…表示子群 G中的所有不同的左陪集,则有等
式 G=aH bH∪cH…, 称其为群 G关于子群 H 的左陪集分解。而称{ a,b,c, …}
为 G关于 H 的一个左陪集代表系。
同理关于有陪集的分解: G=H a ∪H b ∪Hc …。则称 { a , b ,c ,…}
是关于子群 H 的一个右陪集代表系。
例 1:取 S 的子群 H={(1) ,( 12) } ,则( 1)H={(1),( 12) } , H( 1)
={ (1),(12)} ,(13)H={(13),( 123)} ,H(13) ={ (13),( 132)} ,
( 132)H={(132),(23)};H ( 123)={ ( 123),( 23)} 。则
有:S=H∪(13)H ∪(132)H=H∪H(13) ∪H( 123)。
定理 5 设 H,K 是群 G的两个子群,则群 G关于交 H∩K的所有左陪集,就
是关于 H 与 K 的左陪集的所有非空的交。
即有: c(H∩K)=cH∩cK。
定理 6 设 N是群 G的一个子群,如果对 G中每个元素 a 都有
aN=Na,
则称 N 是群 G的一个正规子群。
定理 7 设群 G的子群 H 由有限个元素构成,即 H={a,b,c, …n} 则称 H 为 G
的一个有限子群。
例 2:H≦G,且 H 有有限个元素构成, H={a,b,c, …n},