论述全特征子群 特征子群与正规子群之间的关系.doc

1 本科生代数论文课题: 论述全特征子群,特征子群与正规子群之间的关系班级: 2011 级应用数学班姓名: xx 学号: xxxxxxxx 专业: xxxxxxxxxxx 学院: xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 指导老师: xxxx 2 摘要本论文通过对近世代数的一些基本定理及相关性质的阐述,如:全特征子群,特征子群,正规子群等等。从而推导出全特征字群,特征子群,正规子群间的关系。本文先从全特征子群开始研究,依次为特征子群,正规子群。经过本文对全特征字群,特征子群,正规子群的研究,我发现了其规律:全特征子群包含与特征子群,特征子群包含于正规子群。 1设H是群 G 的一个子群, a∈G 。则称群 G 的子集 aH= {ax|x ∈H}为群H 关于子群 H 的一个左陪集。而称 Ha= {xa|x ∈H }为群 G 关于子群 H 的一个右陪集。左陪集的相关性质:⑴如果 a∈H,则a∈aH。⑵a∈H﹤﹦﹥ aH=H ⑶b∈aH﹤﹦﹥ aH=bH ⑷aH=bH ,即 a与b同在一个作陪集中﹤﹦﹥ ab∈H(b∈H) ⑸若aH∩bH≠空集,则 aH=bH 定理 2设H,K是群 G的两个子群,则群 G关于交 H∩K的所有左陪集,就是关于 H与K的左陪集的所有非空的交。即有: c(H∩K)=cH ∩cK。定理 3 如果用 aH,bH,cH,…表示子群 G 中的所有不同的左陪集,则有等式G=aH ∪bH∪cH…, 称其为群 G 关于子群 H 的左陪集分解。而称{ a,b,c, …} 为G关于 H的一个左陪集代表系。同理关于有陪集的分解: G=H a∪Hb∪Hc…。则称{a,b,c,…} 是关于子群 H的一个右陪集代表系。例1:取S的子群 H={(1) ,(12)},则(1)H={ (1),(12)},H(1)={(1), (12)},(13)H={ (13),(123 )},H(13)={(13),(132 )},(132 )H={(132),(23)};H (123 )={(123 ),(23)}。则有:S=H ∪(13)H ∪(132)H=H ∪H(13) ∪H(123 )。定理 4群G中关于子群 H的互异的左(或右)陪集的个数,叫做 H在G的指数,记为:(G∶H)。定理 5设H 是有限群 G 的一个子群,则: |G|=|H| (G∶H) ,从而任何子群的阶和指数都是群 G的阶的因数。推论有限群中的每个元素的阶都整除群的阶。例2 :由于 S(3)=6 ,故三次对称群 S(3) 的子群及元素的阶都是 6 的因数。例如:子群 H={ (1),(12)} 的阶是 2 ,指数是 3 ,且有|S(3)|=|H| (S(3):H ),即 6=2 ?3。定理 6设G是一个有限群,又 K≤H≤G,则:(G∶K)(H∶K)=(G∶K)。二. 自同构群的定义定理 1设M 是一个有代数运算的集合(不必是群),则 M 的 3 全体自同构关于变换的乘法作成一个群,称为 M 的自同构群。证明设, ??是M 的任意两个自同构,则, a b M ? ?,有( ) [ ( )] [ ( ) ( )] ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ab ab a b a b a b ?? ?????????????? ? ??即??也是 M 的一