论述全特征子群特征子群与正规子群之间的关系.doc

著M氏城、关参
y/ortHwest Vntverstty for :XattonaCities
本科生代数论文
课题:论述全特征子群，特征子群与 正规子群之间的关系
班级：2011级应用数学班
姓名：XX
学号：XXXXXXX证这些全排列都是Y的自同构。例如，设 (7(e) = e,(7(。)= b,(7(。)= a,(7(c) = c,则可以验证它是 y 的自同构： (j(ab) 一(7(c) = c = ba = <7(。)<7(。),
(7(QC)一 (7(Z?) = a = be = (7(Q)(7(C)/ .
由于a,b,c的全排列共有6个，与&同构，因此y的全体自同构也有6个,
Auty 三 s3o
循环群的自同构群
定理2 (1)无限循环群的自同构群是一个2阶循环群;
(2) _g_阶循环群的自同构群是一个仞(〃)阶的群,其中伊(〃)
是欧拉函数(即小于〃且与〃互素的正整数的个数)。
证明由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应，
而生成元的对应关系完全决定了群中其它元素的对应关系。
因此，一个循环求有多少个生成元就有多少个自同构。例如，
设G=<q>是由。生成的循环群，则当k是小于〃且与〃互素的正整数时，
。也是G的生成元，即G =< ak > o此时，令
"GtG , (yk(a) = ak ,则有气(心=『，且 d aj 时， 外("')。外(次)，
<Jk(d • a，) =(Jk(al+'')=次+计=alka'k = ,
即G是G的自同构。由于无限循环群只有2个生成元，n阶循环群只有。(〃) 个生成元，所以其自同构群分别为2阶循环群和伊(〃)阶的群。
例2 (1)求G=<a>, |。|=4, 4阶循环群的自同构群。
解。(4) = 2,两个生成元为。，。匚从而AutG = {&b},其中
(e\^a2 (e 国 a1 疽、
£= rn ， 3是恒等置换，”= m 2 。
回 a~ a ) "g \a_] a a)
(2)求G=<a>, |。|=5, 5阶循环群的自同构群。
s(5) = 4, 4个生成元为g,/,q3,q4,从而AutG = {E,(yl,(y2,(T3},
其中，£是恒等置换，5 =
'e 国 a2 a3a a4
c
e
a1
a"
4、 a
3
9
u
a
a
a
e
0
a2
a3
4 A a
2
,“3 =
0
a3
a2
a /
推论2无限循环群的自同构群与3阶循环群的自同构群同
构。
证明由定理2知，这两种群的自同构群都是2阶群，2是素数，所有2阶群都 彼此同构，都与2次单位根群同构。
内自同构群
定理3设G是一个群，ae G,则
<ya axa^l,(\/xE G)是6的一个自同构，称为G的内自同构；
G的全体内自同构关于变换的乘法作成一个群，称为
G的内自同构群，记为Inn G；
Inn G < AutG。
证明(1)易知Z是G的一个双射变换。又
Z(w) = a(xy)a~l = (axa~l\aya~l) = crfz(x)crfl(j),
所以Z是G的一个自同构。
(2)设Z与％是G的任何