正规子群.doc

§。首先考虑一种特殊的等价关系。,在G上定义二元关系~如下:a~b当且仅当ab-1ÎH,则~是G上等价关系。证(1)任给aÎG,都有aa-1=eÎH,所以a~a;(2)任给a,bÎG,如果a~b,则ab-1ÎH,所以ba-1=(b-1)-1a-1=(ab-1)-1ÎH,因此b~a;(3)任给a,b,cÎG,如果a~b且b~c,则ab-1,bc-1ÎH,所以ac-1=aec-1=a(b-1b)c-1=(ab-1)(bc-1)ÎH,因此a~c。■这种等价关系记为~H,称为由H生成的等价关系。由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。,~H是由H生成的等价关系。(1)任给aÎG,都有=Ha={ha|hÎH}。特别地,=He=H。(2)任给aÎG,都有||=|H|。证(1)任给xÎ,都有x~Ha,由~H的定义得xa-1ÎH,设xa-1=hÎH,则x=xe=x(a-1a)=(xa-1)a=ha,因此yÎHa。任给xÎHa,都存在hÎH,使得x=ha,所以xa-1=(ha)a-1=h(aa-1)=he=hÎH,由~H的定义得x~Ha,因此xÎ||。(2)取H到的映射F:H®F(h)=ha。显然F是满射。任给x,yÎH,如果F(x)=F(y),则xa=ya,由消去律得x=y,所以F是单射。因为F是双射,所以||=|H|。■因为=H,所以a~Hb当且仅当ab-1ÎH=当且仅当ab-1~He。定理,商集G/~H中每个元素(作为G的子集)的基数都是|H|,这样的元素共有|G/~H|个,所以有:,则|G|=|H|×|G/~H|。■这个结果用在有限群上就有:。任给G的子群H,都有|H|||G|。■如果|a|=d,则|<a>|=d,所以有:。任给aÎG,都有|a|||G|。■现在考虑正规的等价关系。群只有一个运算×,所以群上的正规等价关系是条件是:如果x~y,a~b,则xa~yb。这个条件称为正规性条件。~是群G上的正规等价关系。(1)任给a,bÎG,如果a~b,则a-1~b-1。(2)是G的子群。证(1)显然有a-1~a-1,b-1~b-1,由正规性得a-1ab-1~a-1bb-1,所以b-1~a-1,由对称性得a-1~b-1。(2)Î。,bÎ,都有a~e,b~e,由正规性得ab~ee=e,所以abÎ。Î,都有a~e,由(1)得a-1~e-1=e,所以a-1Î。■,~是G上的正规等价关系,则存在G的子群H,使得~=~H。证取G的子群H=,证明~=~H。如果a~b,则由正规性得ab-1~bb-1=e,所以ab-1Î=H,因此a~Hb。如果a~Hb,则由~H的定义得ab-1ÎH=,所以ab-1~e,由正规性ab-1b~eb,所以a~b。■定理,但并不是每个子群都能生成正规等价关系。,如果~H是正规等价关系,则称H是G的正规子群,记为H°G。{e}和G都是G的正规子群。如果群G除{e}和G外没有其它正规子群,则称G为单群。例G是有限群,H<G。如果=2,则H°G。特