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§ 正规子群 同态基础定理
在本节中讨论群同态基础定理。 首先考虑一个特殊等价关系。
定理 H是G子群, 在G上定义二元关系~以下:
a ~ b当且仅当ab-1ÎH, 则~是G上等价关系。
证 (1) 任给aÎG, 全部有aa-1 = eÎH, 所以a ~ a;
(2) 任给a, bÎG, 假如a ~ b, 则ab-1ÎH, 所以ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1ÎH, 所以b ~ a;
(3) 任给a, b, cÎG, 假如a ~ b且b ~ c, 则ab-1, bc-1ÎH, 所以ac-1 = aec-1 = a(b-1b)c-1 = (ab-1)(bc-1)ÎH, 所以a ~ c。 ■
这种等价关系记为~H, 称为由H生成等价关系。 由H生成等价关系中等价类有一个显著表示。
定理 H是G子群, ~H是由H生成等价关系。
(1) 任给aÎG, 全部有= Ha = {ha | hÎH}。 尤其地, = He = H。
(2) 任给aÎG, 全部有||= |H|。
证 (1) 任给xÎ, 全部有x ~H a, 由~H定义得xa-1ÎH, 设
xa-1 = hÎH, 则x = xe = x(a-1a) = (xa-1)a = ha, 所以yÎHa。
任给xÎHa, 全部存在hÎH, 使得x = ha, 所以xa-1 = (ha)a-1 = h(aa-1) = he = hÎH, 由~H定义得x ~H a, 所以xÎ||。
(2) 取H到映射F: H® F(h) = ha。
显然F是满射。
任给x, yÎH, 假如F(x) = F(y), 则xa = ya, 由消去律得x = y, 所以F是单射。
因为F是双射, 所以|| = |H|。 ■
因为= H, 所以a ~H b 当且仅当 ab-1ÎH = 当且仅当ab-1~H e。
(2)告诉我们, 商集G/~H中每个元素（作为G子集）基数全部是|H|, 这么元素共有|G/~H|个, 所以有:
定理 假如H是G子群, 则| G | = |H|×|G/~H|。 ■
这个结果用在有限群上就有:
定理 Lagrange定理 G是有限群。 任给G子群H, 全部有|H| | |G|。 ■
假如|a| = d, 则|<a>| = d, 所以有:
定理 G是有限群。 任给aÎG, 全部有|a| | |G|。 ■
现在考虑正规等价关系。
群只有一个运算×, 所以群上正规等价关系是条件是: 假如x ~ y, a ~ b, 则xa ~ yb。 这个条件称为正规性条件。
引理 ~是群G上正规等价关系。
(1) 任给a, bÎG, 假如a ~ b, 则a-1 ~ b-1。
(2) 是G子群。
证 (1) 显然有a-1~a-1, b-1~b-1, 由正规性得a-1ab-1 ~ a-1bb-1, 所以b-1 ~ a-1, 由对称性得a-1 ~ b-1。
(2)
eÎ。
任给a, bÎ, 全部有a ~ e, b ~ e, 由正规性得ab ~ ee= e, 所以abÎ。
任给aÎ, 全部有a ~ e, 由(1)得a-1 ~ e-1 = e, 所以a-1Î。 ■
定理 G是群, ~是G上正规等价关系, 则存在G子群H, 使得~ = ~H。
证 取G子群H =, 证实~ = ~H。
假如a ~ b, 则由正规性得ab-1 ~ bb-1 = e, 所以ab-1Î= H, 所以a ~H b。
假如a ~H b, 则由~H定义得ab-1ÎH =, 所以ab-1~ e, 由正规性ab-1b ~ eb, 所以a ~ b。 ■
, 但并不是每个子群全部能生成正规等价关系。
定义 正规子群 H是G子群, 假如~H是正规等价关系, 则称H是G正规子群, 记为H°G。
例 {e}和G全部是G正规子群。 假如群G除{e}和G外没有其它正规子群, 则称G为单群。
例 G是有限群, H＜G。 假如= 2, 则H°G。 尤其地, 因为= 2, 所以An°Sn。
取aÏH =, 则G/~H ={,}, 任给xÎG, 全部有x ~H e或x ~H a, 所以Ø(x ~H e) 当且仅当 x ~H a。
先证实假如x ~H y, 则x-1 ~H y-1。
设x ~H y。
假如x