正规子群.pdf

§ 正规子群 同态基本定理
在本节中讨论群的同态基本定理。首先考虑一种特殊的等价
关系。
定理 H 是 G 的子群，在 G 上定义二元关系~如下：
a ~是群 G 上的正规等价关系。
(1) 任给 a, bG，如果 a ~ b，则 a1 ~ b1。
(2) e 是 G 的子群。
证 (1) 显然有 a1~a1, b1~b1，由正规性得 a1ab1 ~ a1bb1，
所以 b1 ~ a1，由对称性得 a1 ~ b1。
(2)
e e 。
任给 a, be ，都有 a ~ e, b ~ e，由正规性得 ab ~ ee= e，
所以 ab e 。
任给 a e ，都有 a ~ e，由(1)得 a1 ~ e1 = e，所以 a1 e 。
■
定理 G 是群，~是 G 上的正规等价关系，则存在 G 的
子群 ，使得 。
H ~ = ~H
证 取 的子群 ，证明 。
G H = e ~ = ~H
如果 a ~ b，则由正规性得 ab1 ~ bb1 = e，所以 ab1 e = H，
因此 。
a ~H b
2如果 ，则由 的定义得 1 ，所以 1 ，由
a ~H b ~H ab H =e ab ~ e
正规性 ab1b ~ eb，所以 a ~ b。■

定理 说明了 G 上任何一个正规等价关系都是由 G 的子
群生成的，但并不是每个子群都能生成正规等价关系。
定义 是 的子群，如果 是正规等价
正规子群 H G ~H
关系，则称 H 是 G 的正规子群，记为 HG。
例 {e}和 G 都是 G 的正规子群。如果群 G 除{e}和 G
外没有其它正规子群，则称 G 为单群。
例 G 是有限群，H＜G。如果 |G| = 2，则 HG。特别
|H |
|S |
地，因为 n = 2，所以 A S 。
|S | n n
n
取 ，则 ，任给 ，都有 或
aH = e G/~H ={e ,