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全特征子群，特征子群，正规子群的关系
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代 数》论文


XXX
XXXXXXX
Xb∈H〔b ∈H〕 ⑸假设aH∩bH≠空集，那么aH=bH


定理3 对群G的全部自同构都不变的子群，亦即对G的任何自同构ε都有










ε〔N〕∈N
的子群N，叫做G的一个特征子群。
定理4 假如用aH，bH，cH，…表示子群G中的全部不同的左陪集，那么有等式G=aH∪bH∪cH…,称其为群G关于子群H的左陪集分解。而称｛a,b,c, …｝为G关于H的一个左陪集代表系。
同理关于有陪集的分解：G=H a ∪H b ∪Hc …。那么称{ a ，b ，c ，…}是关于子群H的一个右陪集代表系。
例1：取S的子群H={(1)，〔12〕}，那么〔1〕H={〔1〕，〔12〕}，H〔1〕={〔1〕，〔12〕}，〔13〕H={〔13〕，〔123〕}，H〔13〕={〔13〕，〔132〕}，〔132〕H={(132),(23)};H〔123〕={〔123〕，〔23〕}。那么有:S=H∪(13)H∪(132)H=H∪H(13)∪H〔123〕。
定理5 设H，K是群G的两个子群，那么群G关于交H∩K的全部左陪集，就是关于H与K的左陪集的全部非空的交。
即有：c〔H∩K〕=cH∩cK。
定理6 设N是群G的一个子群，假如对G中每个元素a都有 aN=Na,
那么称N是群G的一个正规子群。
定理7 设群G的子群H由有限个元素构成，即H={a,b,c, …n}那么称H为G的一个有限子群。
例2：H≦G，且H有有限个元素构成，H={a,b,c, …n},那么称H为G的一个有限子群。
定理8 群G中关于子群H的互异的左〔或右〕陪集的个数，叫做H在G的指数，记为：〔G∶H〕。










定理9 设H是有限群G的一个子群，那么：|G|=|H|〔G∶H〕，从而任何子群的阶和指数都是群G的阶的因数。
推论 有限群中的每个元素的阶都整除群的阶。


例3：由于S(3)=6，故三次对称群S(3)的子群及元素的阶都是6的因数。例如：子群H={〔1〕，〔12〕}的阶是2，指数是3，且有|S(3)|=|H|〔S(3):H〕,即6=2 ?3。
定理10 设G是一个有限群，又K≤H≤G，那么：〔G∶K〕〔H∶K〕=〔G∶K〕。 定理11 假如用aH，bH，cH，…表示子群G中的全部不同的左陪集，那么有等式