论述全特征子群特征子群与正规子群之间的关系.doc

本科生代数论文
课题:论述全特征子群,特征子群与正规子群之间的关系
班级: 2011级应用数学班
姓名: xx
学号: xxxxxxxx
专业: xxxxxxxxxxx
学院:xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
指导老师: xxxx
摘要本论文通过对近世代数的一些基本定理及相关性质的阐述,如:全特征子群,特征子群,正规子群等等。从而推导出全特征字群,特征子群,正规子群间的关系。本文先从全特征子群开始研究,依次为特征子群,正规子群。经过本文对全特征字群,特征子群,正规子群的研究,我发现了其规律:全特征子群包含与特征子群,特征子群包含于正规子群。

定理1 设H是群G的一个子群,a∈G。则称群G的子集aH={ax|x∈H}为群H关于子群H的一个左陪集。而称Ha={xa|x∈H}为群G关于子群H的一个右陪集。
左陪集的相关性质:⑴如果a∈H,则a∈aH。
⑵a∈H ﹤﹦﹥aH=H
⑶b∈aH﹤﹦﹥aH=bH
⑷aH=bH,即a与b同在一个作陪集中﹤﹦﹥ a b∈H(b ∈H)
⑸若aH∩bH≠空集,则aH=bH
定理2 设H,K是群G的两个子群,则群G关于交H∩K的所有左陪集,就是关于H与K的左陪集的所有非空的交。
即有:c(H∩K)=cH∩cK。
定理3 如果用aH,bH,cH,…表示子群G中的所有不同的左陪集,则有等式G=aH∪bH∪cH…,称其为群G关于子群H的左陪集分解。而称{a,b,c, …}为G关于H的一个左陪集代表系。
同理关于有陪集的分解:G=H a ∪H b ∪Hc …。则称{ a ,b ,c ,…}是关于子群H的一个右陪集代表系。
例1:取S的子群H={(1),(12)},则(1)H={(1),(12)},H(1)={(1),(12)},(13)H={(13),(123)},H(13)={(13),(132)},(132)H={(132),(23)};H(123)={(123),(23)}。则有:S=H∪(13)H∪(132)H=H∪H(13)∪H(123)。
定理4 群G中关于子群H的互异的左(或右)陪集的个数,叫做H在G的指数,记为:(G∶H)。
定理5 设H是有限群G的一个子群,则:|G|=|H|(G∶H),从而任何子群的阶和指数都是群G的阶的因数。
推论有限群中的每个元素的阶都整除群的阶。
例2:由于S(3)=6,故三次对称群S(3)的子群及元素的阶都是6的因数。例如:子群H={(1),(12)}的阶是2,指数是3,且有|S(3)|=|H|(S(3):H),即6=2 ▪3。
定理6 设G是一个有限群,又K≤H≤G,则:(G∶K)(H∶K)=(G∶K)。

定理1 设是一个有代数运算的集合(不必是群),则的
全体自同构关于变换的乘法作成一个群,称为的自同构群。
证明设是的任意两个自同构,则,有即也是的一个自同构。这表明,全体自同构关于变换
的乘法封闭。
又因为有,故
即也是的一个自同构。群的定义的第3条成立。
另外,变换的乘法显然满足结合律,且恒等变换就是单位元,
群的定义的第1、2条也成立。所以,的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。
推论1 群(在定理1中取)的全体自同构关于变换的乘法