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格林生平及格林函数
乔治 .格林( 1793-1841 ),英国数学物理学家。 1801 年至 1802 年读过不到
两年的小学, 之后一直在家中打理生意, 在这期间他从未间断自学, 先后阅读了
包括拉普拉斯 Laplace 的天体力学和拉格朗日 Lagrange 的关于数学物理方面的
著作,英国伦敦皇家学会的年鉴,法国科学家毕奥 Biot ,库仑 Coulomb以及泊松
Poisson等人的论著。 1828 年格林出版了他的最重要的科学著作《关于数学分析
应用于电磁理论的一篇论文》 (An Essay on the Application of Mathematical
Analysis to the Theories of Electricity and ism )。 1833 年进入剑桥最
古老的学院之一 Gonville and Caius 学院学习 , 并于 1837 年以优异成绩毕业。
1837 年到 1839 年格林至少发表了 6 篇文章 , 其中一篇是研究波在波导中传播规
律的 , 另外几篇文章分别涉及流体力学、声学、光学等内容。
18 世纪的数学物理学家们在对牛顿的万有引力的深入研究中引入了位势的
概念 U
( x , y, z )
, 它满足方程 :

2            2            2
U      U      U
2            2            2
x      y       z

0
此即为位势方程 , 也叫拉普拉斯方程。位势第一次是以速度势
现在欧拉 Euler 1752 年的重要论文《流体运动原理》之中。
S ( x, y , z )
的概念出
泊松进一步发展了位势方程,他指出对于体系内部的
2 2 2
U U U
4 PQ
2 2 2
x y z
U ( x , y , z )
满足:
其中 Q Q ( x , y , z )
为吸引体的质量密度,此方程称为泊松方程。利用泊松方程,
在导体内部静电合力为零的理论指导下, 泊松解决了在相互邻近的导体表面上电
荷分布的许多问题, 并指出势函数或许可用在电学方面的研究中。 而格林最终将
把位势函数引入电磁学研究中的想法变成了现实。
在格林 1928 年的著名论文中,他证明了格林公式:
(
蝌蝌 u ?
2              2
v   v?

u) dV

ò( u ?
v
v   v 炎 u) dS
V
S
并利用这一公式, 解决了拉普拉斯方程下满足第一类边界条件的位势问题。 格林
引入了满足以下条件的函数 v ,用 u 在边界上的值
u 0
来表示物体内部的 u ,其中 v
满足如下条件:
1) v 在所研究区域表面上必须为零; 2)在区域内部一点 P, v 像 1 / r 这样变
为无穷,其中 r 是点 P与区域内部任意点间的距离; 3 ) v 在内部必须满足位势方
程。这样, u 在任意区域内点便可表示为:
u = -
1
4 P

ò
蝌
S

u 0
? v
? n

dS 0
这个函数 v 后来从黎曼 Riemann开始称之为