函数求值域方法之值域换元法.doc

函数求值域方法之值域换元法
求值域的方法有很多,在众多的方法中,换元法是比较常用且非常有效的求解值域的办法,这里,给大家总结五种常见的换元方法,欢迎大家补充。
五种常见换元办法:①一般换元法;②三角换元法(难度较大);③三角换常值换元法;④双换元法;⑤整体换元法
类型一:一般换元法
形如:y=ax+b
方法:本形式下,部分函数在取值区间内,单调性确定,所以可以直接使用单调性判断,单调性无法确定的时候,本题可使用一般换元的思路,令t=,用t表示x,带入原函数得到一个关于t的二次函数,求解值域即可。
例1:求函数的值域
分析:本题,在取值区间内,x单调增,单调增,两个单调增的函数相减无法直接判断单调性,所以单调性无法确认,考虑使用一般换元。
解:另(),则,
代入得()
本题实求二次函数在指定区间内的范围
当,
所以
变式:求函数的值域
分析:本题,在取值区间内,x单调增,单调增,两个单调增的
函数相加,所以整个函数在取值区间上单调递增所以即可
答案:
由于一般换元法相对来说比较简单,这里就不赘述,留一道练习
练习:求的值域
类型二:三角换元
记住一句话:三角换元一个大原则,三个常用公式
一个大原则:有界,换成
无界,换成
B、三个常用公式:①遇到,且前面系数为,常用
②遇到,且前面系数为1,常用
③巧用万能公式:

三角换元时,尤其注意确定好的取值范围,下面用具体的例题跟大家说明。
例2:求的值域
分析:本题若使用一般换元法,则只能得到与之间的关系,操作起来比较麻烦,换元法本身的目的就是要使得题目变得更为简单便捷,所以一般换元法失灵,考虑使用三角换元,因为前面的系数是-1,所以使用公式①换元
解:令,,,
另(原因:方便后面化出来的,不用讨论正负性了)
代入,得=
,
辅助角公式,合一变形得:()
,
变式:求的值域
分析:另即可
答案:
例3 :求的值域
分析:本题前面的系数是1,所以考虑使用公式②
解:
另U
U,U
U
变式: 求的值域
分析:
,使用三角公式
具体过程问群主哟
答案:
例4:求的值域
分析:本题是高次式求值域,通过常规的解法很难操作,因而我们通过转化,进行三角换元,再求解值域。
解:
到这一步以后,自然而然想到我们的第三个三角公式—万能公式


对f(x)再进行转化