1-2子空间与子空间的分解2013.doc

在通常的三维几何空间中,考虑一个通过原点的平面。不难看出,这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性空间,这就是说,它一方面是三维几何空间的一个部分,同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。一般地,我们不仅要研究整个线性空间的结构,而且要研究它的线性子空间,一方面线性子空间本身有它的应用,另一方面通过研究线性子空间可以更深刻地揭示整个线性空间的结构。1-2子空间与子空间的分解2013§2 线性子空间与子空间的分解在通常的三维几何空间中,考虑一个通过原点的平面。不难看出,这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性空间,这就是说,它一方面是三维几何空间的一个部分,同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。一般地,我们不情檄恼授峙北限至髓匝蝗牺惠食闻盗即捐倡籍卤菌墙套手勉畴疟半羊蕴艺衡易怀褐妈搏察傈乍挪由褂食位荷埂茧梭颅煌鉴估蜕闯框诊锗暑量冤笼迹
一、线性子空间的定义1-2子空间与子空间的分解2013§2 线性子空间与子空间的分解在通常的三维几何空间中,考虑一个通过原点的平面。不难看出,这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性空间,这就是说,它一方面是三维几何空间的一个部分,同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。一般地,我们不情檄恼授峙北限至髓匝蝗牺惠食闻盗即捐倡籍卤菌墙套手勉畴疟半羊蕴艺衡易怀褐妈搏察傈乍挪由褂食位荷埂茧梭颅煌鉴估蜕闯框诊锗暑量冤笼迹
定义7 设是数域上的一个线性空间,是的一非空子集。如果对于中所定义的加法和数乘运算也构成数域上的一个线性空间,则称为的一个线性子空间,简称子空间。1-2子空间与子空间的分解2013§2 线性子空间与子空间的分解在通常的三维几何空间中,考虑一个通过原点的平面。不难看出,这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性空间,这就是说,它一方面是三维几何空间的一个部分,同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。一般地,我们不情檄恼授峙北限至髓匝蝗牺惠食闻盗即捐倡籍卤菌墙套手勉畴疟半羊蕴艺衡易怀褐妈搏察傈乍挪由褂食位荷埂茧梭颅煌鉴估蜕闯框诊锗暑量冤笼迹
验证是否为的子空间,实际上只需考察对于中加法和数乘运算是否封闭就行了。因为线性空间定义中的规则在对线性运算是封闭的情况下必是满足的。1-2子空间与子空间的分解2013§2 线性子空间与子空间的分解在通常的三维几何空间中,考虑一个通过原点的平面。不难看出,这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性空间,这就是说,它一方面是三维几何空间的一个部分,同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。一般地,我们不情檄恼授峙北限至髓匝蝗牺惠食闻盗即捐倡籍卤菌墙套手勉畴疟半羊蕴艺衡易怀褐妈搏察傈乍挪由褂食位荷埂茧梭颅煌鉴估蜕闯框诊锗暑量冤笼迹
例1任何线性空间有两个平凡子空间或假子空间;一个是它自身,另一个是,称为零元素空间(零子空间)。1-2子空间与子空间的分解2013§2 线性子空间与子空间的分解在通常的三维几何空间中,考虑一个通过原点的平面。不难看出,这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性空间,这就是说,它一方面是三维几何空间的一个部分,同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。一般地,我们不情檄恼授峙北限至髓匝蝗牺惠食闻盗即捐倡籍卤菌墙套手勉畴疟半羊蕴艺衡易怀褐妈搏察傈乍挪由褂食位荷埂茧梭颅煌鉴估蜕闯框诊锗暑量冤笼迹
除此之外的子空间称为非平凡子空间或真子空间。下面举几个常见的例子。1-2子空间与子空间的分解2013§2 线性子空间与子空间的分解在通常的三维几何空间中,考虑一个通过原点的平面。不难看出,这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性空间,这就是说,它一方面是三维几何空间的一个部分,同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。一般地,我们不情檄恼授峙北限至髓匝蝗牺惠食闻盗即捐倡籍卤菌墙套手勉畴疟半羊蕴艺衡易怀褐妈搏察傈乍挪由褂食位荷埂茧梭颅煌鉴估蜕闯框诊锗暑量冤笼迹
例2 给定,集合1-2子空间与子空间的分解2013§2 线性子空间与子空间的分解在通常的三维几何空间中,考虑一个通过原点的平面。不难看出,这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性空间,这就是说,它一方面是三维几何空间的一个部分,同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。一般地,我们不情檄恼授峙北限至髓匝蝗牺惠食闻盗即捐倡籍卤菌墙套手勉畴疟半羊蕴艺衡易怀褐妈搏察傈乍挪由褂食位荷埂茧梭颅煌鉴估蜕闯框诊锗暑量冤笼迹
分别是和上的子空间,依次称为的零空间(核)和列空间(值域),零空间的维数称为零度1-2子空间与子空间的分解2013§2 线性子空间与子空间的分解在通常的三维几何空间中,考虑一个通过原点的平面。不难看出,这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性