1-2子空间与子空间的分解2013.doc

§2 线性子空间与子空间的分解在通常的三维几何空间中,考虑一个通过原点的平面。不难看出,这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性空间,这就是说,它一方面是三维几何空间的一个部分, 同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。一般地,我们不仅要研究整个线性空间的结构,而且要研究它的线性子空间,一方面线性子空间本身有它的应用,另一方面通过研究线性子空间可以更深刻地揭示整个线性空间的结构。一、线性子空间的定义定义 7设V 是数域 F 上的一个线性空间,W 是V 的一非空子集。如果 W 对于 V 中所定义的加法和数乘运算也构成数域 F 上的一个线性空间,则称 W 为V 的一个线性子空间,简称子空间。验证 W 是否为 V 的子空间,实际上只需考察 W 对于 V 中加法和数乘运算是否封闭就行了。因为线性空间定义中的规则 8)(~ (1) 在W 对线性运算是封闭的情况下必是满足的。例1 任何线性空间有两个平凡子空间或假子空间;一个是它自身 VV?,另一个是?? 0?W ,称为零元素空间( 零子空间)。除此之外的子空间称为非平凡子空间或真子空间。下面举几个常见的例子。例2给定 1 2 ( , , , ) m n n A a a a R ?? ??,集合??( ) | 0, n N A x Ax x R ? ???? 1 2 1 2 ( ) ( ) ( , , , ) { , , , } | , n n n R A A L a a a span a a a y y Ax x R ?? ? ????? ?分别是 nR 和mR 上的子空间,依次称为 A 的零空间(核)和列空间(值域) ,零空间的维数称为零度 A 的零空间是齐次线性方程组 0? Ax 的全部解向量构成的 n 维线性空间 nR 的一个子空间。因为解空间的基就是齐次线性方程组的基础解系。所以, )( ))( dim( A rank nAN??。 A 的左零空间和行空间??( ) | 0, T T m N A x A x x R ? ????( ) ( ) | , T T T m R A A y y A x x R ?? ???, dim( ( )) ( ) T T N A m rank A ? ?。?A 表示 nmA ?的广义逆,满足 A AXA ?,则有)()(AAIAN n ????且AAI n ??,AA ?幂等。所以)()()()()(A rank nAA rank nAA trnAAI trAAI rank nn?????????????例3设)1(,,, 21?m m????是V 的m 个向量,它们所有可能的线性组合所成的集合?? mSpan ????,, 21??????????? mi iik 1|???是V 的一个子空间,称为由 m???,,, 21?生成的子空间。若记 mnmRA ???),,,( 21????,则??)(A??? mSpan ????,, 21 由子空间的定义可知,如果 V 的一个子空间包含向量 m???,,, 21?,那么就一定包含它们所有的线性组合。也就是说?? mSpan ????,, 21 是V 的一个子空间。注:容易证明(1) dim ( ) ( ) A rank A ??。(2))()(BAA????,?? lbbB? 1?,特别若 ljb j,,2,1,??可表示为m???,,, 21?的线性组合,则)()(BAA????。定理 2设W 是nV 的一个 m 维子空间, m???,,, 21?是W 的一个基,则这 m 个向量必定可扩充为 nV 的基。证明若nm?,则定理已成立。若 nm?,则 nV 中必存在一个向量 1?m?不能由 m???,,, 21?线性表出,从而 121,,,, ?mm?????线性无关。如果 nm??1 ,则定理已成立。否则继续上述步骤。经过 mn?次,则可得到 nV 内mn?个线性无关的向量,使 nmm?????,,,,,, 121???为nV 的基。二、子空间的分解子空间作为子集,有子集的交( 21WW?),和( 21WW?)等运算,对它们有如下定理。定理 3设21,WW 是线性空间 V 的子空间,则有(1) 1W 与2W 的交集 21WW??? 21|WW??????且是V 的子空间,称为 1W 与2W 的交空间。(2) 1W 与2W 的和 21WW??? 221121,,|WW???????????是