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奥数数论基础知识
一质数和合数
(1)一个数除了1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。
一个数除了1和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。
(2)自然数除0和1外,按约数的个数分为质数和合数两类。
任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
要特别记住:0和1不是质数,也不是合数。
(3)最小的质数是2 ,2是唯一的偶质数,其他质数都为奇数;
最小的合数是4。
(4)质数是一个数,是含有两个约数的自然数。
互质数是指两个数,是公约数只有一的两个数,组成互质数的两个数可能是两个质数(3和5),可能是一个质数和一个合数(3和4),可能是两个合数(4和9)或1与
另一个自然数。
(5)如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
(6)100以内的质数有25个:2、3、5、7、11、13、17、19、23、
29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、
83、89、97 .
二整除性
(1)概念
一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b(b不等于0),除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0),我们就说,a能被b整除(或者说b能整除a)。记作b|,称为a不能被b整除,(或b不能整除a),记作b a。
如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的
倍数,b就叫做a的约数。
(2)性质
性质1:(整除的加减性)如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。
即:如果c|a,c|b,那么c|(a±b)。
例如:如果2|10,2|6,那么2|(10+6),并且2|(10—6)。
也就是说,被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。
性质2:如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.
即:如果bc|a,那么b|a,c|a。
性质3:(整除的互质可积性)如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积能整除a。
即:如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。
例如:如果2|28,7|28,且(2,7)=1,
那么(2×7)|28。
性质4:(整除的传递性)如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。
即:如果c|b,b|a,那么c|a。
例如:如果3|9,9|27,那么3|27。
(3)数的整除特征
①能被2整除的数的特征:个位数字是0、2、4、6、8的整数.
②能被5整除的数的特征:个位是0或5。突破口
③能被3(或9)整除的数的特征:各个数位数字之和能被3(或9)整除。
判断能被3(或9)整除的数还可以用“弃3(或9)法”:
例如:8351746能被9整除么?
解:8+1=9,3+6=9,5+4=9,在数字中只剩7,7不是9的倍数,所以8351746不能被9整除。
④能被4(或25)整除的数的特征:末两位数能被4(或25)整除。
⑤能被8(或125)整除的数的特征:末三位数能被8(或125)整除。
⑥能被11整除的数的特征:这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大减小)是11的倍数。
⑦能被7(11或13)整除的数的特征:一个整