实数知识点总结.doc

实数
平方根的有关概念
夯实基础
算术平方根
名称
定义
表示方法
举例
算术平方根
一般地,如果一个正数的平方等于,即,那么这个正数叫做的算术平方根。规定0的算术平方根是0
非负数的算术平方根记作“”,读作“根号”,其中叫做被开方数
如,那么5叫做25的算术平方根(或者说25的算术平方根是5)
温馨提示
①一个正数的平方根有两个,分别为和,我们把正的平方根叫做的算术平方根。
②一个正数的算术平方根是一个正数;零的算术平方根仍为零;负数没算术平方根。
例1:写出下列各数的算术平方根。
(1);(2);(3)。
平方根
定义:如果一个数的平方等于,这个数就叫做的平方根(或二次方根)。即如果,那么就叫做的平方根。如:,所以4的平方根是;,所以的平方根是;,所以0的平方根是0。
表示方法
一个数的正的平方根,用符号“”表示,叫做被开方数,2叫做根指数,的负平方根用“”表示,根指数是2时,通常省略不写。如记作,读作“根号”,记作,读作“正、负根号”。
温馨提示
①任何数的平方都不能为负数,所以负数没有平方根。
②“5是25的平方根”这种说法是正确的,反过来说“25的平方根是5”就错了,因为“正数有两个平方根”,所以必须说“25的平方根是±5”。
③求一个数的平方根就是把平方后等于这个数的所有数都求出来,而判断一个数是不是另一个数的平方根,只要把这个数平方,看其是否等于另一个数即可。
平方根的性质
一个正数有两个平方根,它们互为相反数,记作。
零的平方根是零。
负数没有平方根。
温馨提示
①时,表示的算术平方根,表示的平方根。
②因为负数没有平方根,所以被开方数。如中隐含着,即这一条件。
③,
例2:判断下列说法是否正确,并说明理由。
的平方根是36;(2)1的平方根是1;(3)-9的平方根是;(4);
是的算术平方根。
平方根与算术平方根的区别与联系
算术平方根
平方根
区别
概念
如果一个正数的平方等于,即,那么这个正数叫做的算术平方根
如果一个数的平方等于,即,那么这个数叫做的平方根或二次方根
表示方法
性质
正数只有一个算术平方根,且恒正;规定
正数有两个平方根,且互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根
;负数没有算术平方根
求法
开平方后取非负的平方根
开平方
联系
的取值范围相同,均为;
平方根中包含了算术平方根,即算术平方根是平方根中的一个,平方根中非负的
那一个即为算术平方根。
掌握方法
开平方的方法
求一个数的平方根的运算,叫做开平方。
开平方运算与平方运算互为逆运算。
表示非负数的平方根,表示非负数的算术平方根,表示非负数的负的平方根。
例1:下列各式中正确的是( )
A. B.
C. D.
平方根的性质的应用方法
要判断一个数有无平方根或平方根有几个,关键是确定这个数是正数、负数还是0。如果是正数的平方根,那么有或;但如果正数平方根是,那么只能有。
例2:如果一个数的平方根是与,那么这个数是多少?

一个正数有两个平方根,它们互为相反数,0只有一个平方根,负数没有平方根。在解方程时,利用平方根的定义进行开方,从而求出未知数的值。
例3:求下列各式中的的值。
;(2);
;(4)。
实数
立方根的有关概念
夯实基础
立方根
立方根
名称
定义
表示方法
举例
立方根
一般地,如果一个数的立方等于,即,那么叫做的立方根或三次方根
数的立方根记作“”,读作“三次根号”,其中叫做被开方数
如,那么叫做的立方根
温馨提示
①负数没有平方根,但有立方根。
②根据立方根的概念可知:“5是125的立方根”,反过来说“125的立方根是5”也正确。
③判断一个数是不是某数的立方根,就看是不是等于。
例1:求下列各数的立方根:
;(2);(3)。
立方根的性质
正数只有一个正的立方根;
负数只有一个负的立方根;
零的立方根为零。
温馨提示
①一个数的立方根是唯一的。
②正数的奇次方根时正数,负数的奇次方根是负数,零的任何正整数次方根均为0。
③、、,公式中的可取任意数。
④当两个数相等时,这两个数的立方根相等,反过来,当两个数的立方根相等时,这两个数也相等。即若,则;若,则。
例2:下列说法中错误的有( )
①任何一个数都有立方根;
②14的立方根是;
③3是27的立方根;
④正数的平方根有两个,立方根也有两个。

开立方
求一个数的立方根的运算叫做开立方。
例如:8的立方根为。
温馨提示
①被开方数的数可以是正数、负数