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函数的奇偶性
书山有路勤为径,学海无崖苦作舟
少壮不努力,老大徒伤悲
成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话
天才就是百分之一的灵感加上百分之九十九的汗水!
勤奋、守纪、团结、进取!
引例
(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) ,并画出它的图象.
解:
f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4
f(-2)=f(2)
f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1
f(-1)=f(1)
f(-x)=(-x)2=x2
f(-x)=f(x)
思考:(1)这两个函数图象有什么共同特征吗?
(2)从解析式上如何体现上述特征?
偶函数的特征:
①解析式的基本特征:
f (-x)=f (x)
②图像特征:关于y轴对称.
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数(even function).
1. 偶函数的概念
(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),
f(-1),f(1)及f(-x)
解:
f(-2)=(-2)3=-8, f (2)=8
f(-2)= - f(2)
f(-1)=(-1)3=-1, f(1)=1 f(-1)= - f(1)
f(-x)=(-x)3=-x3 f(-x)=- f(x)
思考: 通过练习,你发现了什么规律?
(-x,-y)
(x,y)
奇函数的特征:
①解析式的基本特征:
f (-x)=-f (x)
②图像特征:关于原点对称.
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function).

如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.
注意:
(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;而函数的单调性是函数的局部性质.
(2)由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即奇、偶函数的定义域一定关于原点对称).
[a ,b]
[-b,-a]
x
o
(3)奇、偶函数定义的逆命题也成立,即
若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)有成立.
若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)有成立.
(4)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.

定义域不对称的函数无奇偶性,既不是奇函数也不是偶函数。
例2. 函数是定义在
上的偶函数,则该函数的值域是_____.