截长补短法例题.doc

截长补短法
已知,如图1-1,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC.
求证:∠BAD +∠BCD=180°.
分析:因为平角等于180°,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现.
证明:过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DF⊥BC于点F,如图1-2
图1-1
∵BD平分∠ABC,∴DE=DF,
图1-2
在Rt△ADE与Rt△CDF中,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.
又∠BAD+∠DAE=180°,∴∠BAD+∠DCF=180°,
即∠BAD+∠BCD=180°
已知,如图3-1,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,AB+BC=2BD.
求证:∠BAP+∠BCP=180°.
分析:与例1相类似,证两个角的和是180°,可把它们移到一起,让它们是邻补角,即证明∠BCP=∠EAP,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.
证明:过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图3-2
图3-1
∵∠1=∠2,且PD⊥BC,∴PE=PD,
在Rt△BPE与Rt△BPD中,
图3-2
∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),∴BE=BD.
∵AB+BC=2BD,∴AB+BD+DC=BD+BE,∴AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.
在Rt△APE与Rt△CPD中,
∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),∴∠PAE=∠PCD
又∵∠BAP+∠PAE=180°,∴∠BAP+∠BCP=180°
如图2-1,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB.
求证:CD=AD+BC.
分析:结论是CD=AD+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”,即在CD上截取CF=CB,只要再证DF=DA即可,这就转化为证明两线段相等的问题,从而达到简化问题的目的.
图2-1
证明:在CD上截取CF=BC,如图2-2
在△FCE与△BCE中,
∴△FCE≌△BCE(SAS),∴∠2=∠1.
又∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°,∴∠DCE+∠CDE=90°,
图2-2
∴∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°,∴∠3=∠4.
在△FDE与△ADE中,
∴△FDE≌△