截长补短法例题.docx

DE DF
AD CD
截长补短法
，如图1-1，在四边形 ABCD中，BC>AB, AD=DC, BD平分/ ABC
求证：/ BAD + /BCD=180° .
分析：因为平角等于180。，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图 中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形， 可通过“截长补短法”来实现.
证明：过点 D作DE垂直BA的延长线于点 E,作DF丄BC于点F,如图1-2
•/ BD平分/ ABC, ••• DE=DF, 在 RtAADE 与 RtA CDF 中，
• RtAADEB RtACD^HL),：/ DAE=Z DCF
又/ BAD+/ DAE=180°, •/ BAD+/ DCF=180°
即/ BAD+/ BCD=180°
例2. 已知，如图3-1 , / 1=/ 2, P为BN上一点，且 PD丄BC于点D, AB+BC=2BD.
求证：/ BAP+/ BCP=180° .
分析：与例1相类似，证两个角的和是 180 °，可把它们移到一起，让它们是邻补角, 即证明/ BCP=/ EAP,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造
证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点 E,如图3-2
•••/ 1 = / 2, 且 PD丄 BC,「. PE=PD,
在 RtABPE与 RtA BPD 中,
PE PD
BP BP
• RtA BPEB RtA BPD(HL), • BE=BD.
•/ AB+BC=2BD,： AB+BD+DC=BD+BE,： AB+DC=BE 即
图3-1
E
图3-2
D
C
DC=BE-AB=AE.
在 RtAAPE与 RtA CPD 中,
PE PD
PEA PDC
AE DC
••• RtAAPE^ RtA CPQSAS)「/ PAE=Z PCD
又•••/ BAP+Z PAE=180 ° ,•/ BAF+Z BCP=180°
例3. 如图 2-1 , AD// BC,点 E在线段 AB上，Z ADE=Z CDE Z DCE=Z ECB
求证：CD=AD+BC
分析：结论是CD=AD+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB, 只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的 .
证明：在 CD上截取 CF=BC,如图2-2
在厶卩。£与厶BCE中，
CF CB
FCE BCE
CE CE
△ FCE^A BCE (SAS 2=Z 1.
又••• AD/ BC,「.Z ADC+Z BCD=180°,：Z DCE^Z CDE=90
Z 2+Z 3=90 °,Z 1 + Z 4=90 °,「.Z 3=Z 4.
在厶FDE与厶ADE中，
FDE ADE
DE DE
3 4
△ FDE^A ADE (ASA,「. DF=DA