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截长补短法例题
截长补短法
,如图1-1,在四边形ABCDK BC>
AB AD=DC BD平分/ ABC
求证:/ BAD+Z BCD180° .
分析:因为平角等于180°,因而应考 虑把两个不在一起的通过: .
截长补短法例题
截长补短法
,如图1-1,在四边形ABCDK BC>
AB AD=DC BD平分/ ABC
求证:/ BAD+Z BCD180° .
分析:因为平角等于180°,因而应考 虑把两个不在一起的通过全等转化成为平 角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关 键在于构造直角三角形,可通过“截长补短 法”来实现.
证明:过点D作DE垂直BA的延长线于点E,
作DF丄BC于点F,如图1-2
•・• BD平分Z ABC 二
DE=DF
A
图1-1
在 Rt△ ADE与 Rt△ CDFB
中,
DE DF
AD CD
E
・•・ Rt △ ADE^ Rt △ CDfHL), ・・・Z 图
DAEZ DCF
又/ BAD/ DAE180°,・・・/ BAI+Z DC=180°
即Z BADZ BCD18O°
,如图3-1 , Z仁Z 2, P为BN上一点,
且 PDL BC于点 D A由BO2BD
求证:Z BAF+Z BC=180° .
分析:与例1相类似,证两个角的和是 180°,可把它们移到一起,让它们是邻补角, 即证明Z BCP Z EAR因而此题适用“补短”进 行全等三角形的构造.
证明:过点P作PE垂直BA的延长线于点
图
E如图3-2
•・•/ 仁 Z 2,且 PDL BC
・•・PE=PD
在 Rt △ BPE与 Rt △ BPD
中,
PE PD
BP BP
E
图
D
C
・•・ Rt△ BP專Rt△ BPDHL),・•・ BE=BD
•・• ABfBC=2BD 二 A由BDfDGBDfBE
ABfDGBE即卩 DGBEABAE
在 Rt △ APE与 Rt △ CPD中,
PE PD
PEA PDC
AE DC
・•・ Rt△ APE^ Rt△ CPDSAS), ・•・/ PAE:
/ PCD
又•・•/ BAF+Z PA巨180° ,・•・/ BAF+Z BC!=180°
-1 , AD// BQ点E在线段AB上,Z
ADEZ CDE Z DCEZ ECB
求证:C&At+BC
分析:结论是Ct=ADBC可考虑用“截长 补短法”中的“截长”,即在CD上截取CF=CB 只要再证DF=DA即可,这就转化为证明两线 段相等的问题,从而达到简化问题的目的.
B
图
D
证明:在CD上截取CF=BC, 如图2-2
在厶 FCE^ BCE中,
CF CB
FCE BCE
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