全国高中数学联赛模拟试题5.doc

全国高中数学联赛模拟试题(五)
(命题人:罗增儒)
第一试
选择题:(每小题6分,共36分)
空间中n(n≥3)个平面,,下面四个结论
没有任何两个平面互相平行;
没有任何三个平面相交于一条直线;
平面间的任意两条交线都不平行;
平面间的每一条交线均与n-2个平面相交.
其中,正确的个数为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
若函数y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段,则当c∈(a,b)时,f(c)的近似值可表示为
(A) (B)
(C) (D)
设a>b>c,a+b+c=1,且a2+b2+c2=1,则
(A)a+b>1 (B)a+b=1 (C)a+b<1
(D)不能确定,与a、b的具体取值有关
设椭圆的离心率,已知点到椭圆上的点的最远距离是,则短半轴之长b=
(A) (B) (C) (D)
S={1,2,…,2003},A是S的三元子集,满足:,这样的三元子集A的个数是
(A) (B)
(C) (D)
长方体ABCD-A1B1C1D1,,AB、AD、AA1、AC1为半径作四个同心球,其体积依次为V1、V2、V3、V4,则有
(A)V4<V1+V2+V3 (B)V4=V1+V2+V3
(C)V4>V1+V2+V3 (D)不能确定,与长方体的棱长有关
填空题:(每小题9分,共54分)
1、已知,则k的取值范围为。
2、等差数列{an}的首项a1=8,且存在惟一的k使得点(k,ak)在圆x2+y2=102上,则这样的等差数列共有个.
3、在四面体P-ABC中,PA=PB=a,PC=AB=BC=CA=b,且a<b,则的取值范围为.
4、动点A对应的复数为z=4(cosq+isinq),定点B对应的复数为2,点C为线段AB的中点,过点C作AB的垂线交OA与D,则D所在的轨迹方程为.
5、被8所除得的余数为.
6、圆周上有100个等分点,以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为.
(20分)
已知抛物线y2=2px(p>0),并求出此时点M的坐标.
(20分)
单位正方体ABCD-A1B1C1D1中,正方形ABCD的中心为点M,正方形A1B1C1D1的中心为点N,连AN、B1M.
(1)求证:AN、B1M为异面直线;
(2)求出AN与B1M的夹角.
(20分)
对正实数a、b、:
≥9.
第二试
(50分)
设ABCD是面积为2的长方形,P为边CD上的一点,Q为△·PB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化,当PA·PB取最小值时,
(1)证明:AB≥2BC;
(2)求AQ·BQ的值.