全国高中数学联赛模拟试题4.doc

全国高中数学联赛模拟试题(四)
(命题人:刘康宁)
第一试
选择题(每小题6分,共36分):
函数是奇函数的充要条件是
(A)-1≤a<0或0<a≤1 (B)a≤-1或a≥1
(C)a>0 (D)a<0
已知三点A(-2,1)、B(-3,-2)、C(-1,-3)和动直线l:y=、B、C到直线l的距离的平方和最小时,下列结论中,正确的是
(A)点A在直线l上(B)点B在直线l上
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
(C)点C在直线l上(C)点A、B、C均不在直线l上
如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,过顶点A1在空间作直线l,使l与直线AC和BC1所成的角都等于60°。这样的直线l可以做
(A)4条(B)3条
(C)2条(D)1条
整数的两位质因数的最大值是
(A)61 (B)67
(C)83 (D)97
若正整数a使得函数的最大值也是整数,则这个最大值等于
(A)3 (B)4 (C)7 (D)8
在正整数数列中,,再染2个偶数2、4;再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9;再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16;再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、,得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,12,14,16,17,….则在这个红色子数列中,由1开始的第2003个数是
(A)3844 (B)3943 (C)3945 (D)4006
填空题(每小题9分,共54分):
1、在复平面上,Rt△ABC的顶点A、B、C分别对应于复数z+1、2z+1、(z+1)2,A为直角顶点,且|z|=={m|zm∈R,m∈N+},P={x|x=,m∈M}.则集合P所有元素之和等于.
2、函数f(x)=|sinx|+sin42x+|cosx|的最大值与最小值之差等于
.
3、关于x的不等式
的解集是一些区间的并集,且这些区间的长度的和小于4,则实数a的取值范围是.
4、银行计划将某项资金的40%给项目M投资一年,其余的60%%到24%的年利润,N有可能获得29%到34%,、N总投资的10%而不大于总投资的15%,则给储户的回扣率的最小值是.
5、已知点(a,b)在曲线arcsinx=osy上运动,且椭圆ax2+by2=1在圆x2+y2=的外部(包括二者相切的情形).那么,arcsinb的取值范围是.
6、,、b,则tan(a+b)的值是.
(20分)
△ABC的三边长a、b、c(a≤b≤c)同时满足下列三个条件
(i)a、b、c均为整数;
(ii)a、b、c依次成等比数列;
(iii)a与c中至少有一个等于100.
求出(a,b,c)的所有可能的解.
(20分)
在三棱锥D-ABC中,AD=a,BD=b,AB=CD=c,且∠DAB+∠BAC+∠DAC=180°,∠DBA+∠ABC+∠DBC=180°.求异面直