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窗函数的选择
摘要:在信号分析时,我们一般会截取有限的波形数据做傅里叶变换,这个截断过程会产生泄漏,导致功率扩散到整个频谱范围,产生大量“雾霾数据”,无法得到正确的频谱结果。虽然知道加窗可以抑制泄漏,但复杂的窗函数表达式及抽象的主瓣旁瓣描述方法,另人更加迷惑,下面我们抛弃公式用通俗易懂的方式介绍窗函数的选择。
1. 加窗与窗函数
在数字信号处理中,常见的有矩形窗、汉宁窗、海明窗和平顶窗,这里不再赘述窗函数的表达式,只讨论窗函数的使用,下图直观地描述了信号加窗的过程及窗函数基本特征。

图 1 信号加窗后频率普图
直观地,在时域上看,加窗其实就是将窗函数作为调制波,输入信号作为载波进行振幅调制(简称调幅)。矩形窗对截取的时间窗内的波形未做任何改变,即只是截断信号原样输出。而其它三种窗函数都将时间窗内开始和结束处的信号调制到了零。
更普遍地,绝大部分窗函数形状都具有类似从中间到两边逐渐下降的形状,只是下降的速度等细节上有所区别。这个特征体现了加窗的目的——降低截断引起的泄漏,所有窗函数都是通过降低起始和结束处的信号幅度,来减小截断边沿处信号突变产生的额外频谱。
2. 窗函数的选择
从图 1中很明显看出,加窗后信号时域的变化显著,由于后续的处理一般是进行傅里叶变换,所以我们主要分析加窗对傅里叶变换结果的影响。傅里叶变换后主要的特征有频率、幅值和相位,而加窗对相位的影响是线性的,所以一般不用考虑,下面讨论对频率和幅值的影响。
加窗对频率和幅值的影响是关联的,首先需要记住一个结论:对于时域的单个频率信号,加窗之后的频谱就是将窗谱的谱峰位置平移到信号的频率处,然后进行垂直缩放。说明加窗的影响取决于窗的功率谱,再结合上图 1中
最后一列窗函数的功率谱,容易理解其它介绍文章中常看到的对窗特征的主瓣、旁瓣等的描述。
再来看窗函数的功率谱,从上到下,窗函数的主峰(即主瓣)越来越粗,两边的副峰(即旁瓣)越来越少,平顶窗的名称也因主瓣顶峰