定积分教案.doc

《数学分析》
之九
第九章定积分(14+4学时)
教学大纲
教学要求:
1. 理解Riemann定积分的定义及其几何意义
2. 了解上和与下和及其有关性质
3. 理解函数可积的充要条件,了解Riemann可积函数类
4. 熟练掌握定积分的主要运算性质以及相关的不等式
5. 了解积分第一中值定理
6. 掌握变上限积分及其性质
7. 熟练掌握Newton-Leibniz公式,定积分换元法,分部积分法
教学内容:
问题的引入(曲边梯形的面积及变速直线运动的路程),定积分定义,几何意义,可积的必要条件,上和、下和及其性质,可积的充分条件,可积函数类,定积分的性质,积分中值定理,微积分学基本定理,牛顿一莱布尼兹公式,定积分的换元法及分部法。
第页
时间
---------月---------日
星期-----------------
课
题
§ 1 定积分概念(2学时)
教学目的
知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等,以及解决这些实际问题的数学思想方法;深刻理解并掌握定积分的思想:分割、近似求和、取极限,进而会利用定义解决问题;
教学重点
深刻理解并掌握定积分的思想
教学难点
理解并掌握定积分的思想,理解定积分是特殊和式的极限
课型
理论讲授
教学媒体
教法选择
讲练结合
教学过程
教法运用及板书要点
复习极限的定义,极限的唯一性定理;
导数的引入例子及其物理意义;
不定积分概念,及其与导数运算的性质;
定积分是特殊和式的极限
一、问题背景:
1. 曲边梯形的面积:
思想:以“不变”代“变”:方法:分割;近似;求和;取极限
设函数在闭区间上连续,且。则由曲线,直线,以及轴所围成的平面图形(如下左图),称为曲边梯形。下面将讨论该曲边梯形的面积(这是求任何曲线边界图形的面积的基础)。
在区间内任取个分点,依次为
它们将区间分割成个小区间,。记为,即,。并用表示区间的长度,记,再用直线,把曲边梯形分割成个小曲边梯形(如上右图)。在每个小区间,上任取一点,,作以为高,为底的小矩形,其面积为,当分点不断增多,又分割得较细密时,由于连续,它在每个小区间上的变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积。于是,该曲边梯形面积的近似值为

此表2学时填写一份,“教学过程”不足时可续页
第页
。
从而
。
2. 变力所作的功:
思想:以“不变”代“变”:方法:分割;近似;求和;取极限
变力所作的功W 设质点受力F的作用沿轴由点移动到点,并设F处处平行于轴(如下图),同上述,有
,
而
根据上述两个例子建立数学模型
对于函数,按照上述方法,讨论“极限”
方法:分割;近似;求和;取极限
二、定积分的定义:
:
分割;分割T的模
积分和(黎曼和);
可积, 黎曼可积,被积函数,积分变量,积分区间,积分上限、积分下限
函数,方法:分割;近似;求和;取极限
定义设是定义在[]上的一个函数,对于[]的一个分割,任取点,,并作和式。
称此和式为在[]关于分割T的一个积分和,也称黎曼和。(注:积分和既与分割T有关,也与点的取法有关)。
又设是一个确定的实数,若对任给的,总存在,使得对[]的任意分割T,以及,,只要,就有
第页
。
则称函数在[]上可积或黎曼可积。数称为函数在[]上
的定积分或黎曼积分,记作:
其中称为被积函数,称为积分变量,[]称为积分区间,称为被积式,分别称为积分的下限和上限。
定积分的几何意义;
连续函数定积分存在()
三、举例:
例1  .
解取等分区间作为分法
取
.=
.
由函数在区间上可积,每个特殊积分和之极限均为该积分值.
例2  已知函数在区间上可积,用定义求积分.
解分法与介点集选法如例1 , 有
.
上式最后的极限求不出来, 但却表明该极限值就是积分
.
四、小结:指出本讲要点
定积分的概念(几何意义);
定积分的问题背景;
若定积分存在,按定义计算定积分的值时,分割与介点的选取,可取特殊点,解题步骤(回顾例1)。
作业: 课后1. 2.(1)(2)
此表2学时填写一份,“教学过程”不足时可续页
时间
---------月---------日
星期-----------------
课
题
§ 2 Newton — Leibniz 公式(2学时)
教学目的
深刻理解微积分基本定理的意义,能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.
教学重点
能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分
教学难点
应用定积分计算形