奥数知识点 翻.docx

翻杯子
不能翻成功
一个杯口朝上的杯子,要翻成杯口朝下,要翻动1次、3次、5次……即奇数次。这样,根据奇、偶数的性质,可以发现:当杯子总数N为奇数而每次翻动的个数M为偶数时,无论翻几次,都不能成功。因为需翻动杯子的总次数为奇数(奇数个奇数的和为奇数),而实际翻动总次数一定为偶数,显然奇数≠偶数,所以不能成功。除此之外的其它情况都能翻成功,即: (杯子总数为N、每次翻动的个数为M)
① N为奇数、M为偶数时,无法翻成功;  
② N为奇数、M为奇数时,且需翻动奇数次;    (N<2M,为3次)
③ N为偶数、M为奇数时,且需翻动偶数次;   (N<2M,为4次)
④ N为偶数、M为偶数时,且翻动奇、偶次均可。(N<2M,为3次)
 
最少需翻几次,怎样翻?
解题步骤:①能不能翻成功②能成功,翻几次
1、当N=M倍,需翻N÷M次 
例1、8个杯口全部向上的杯子,每次将其中4个同时翻转,几次翻转杯口能全部向下?  
解:①∵N与M同为偶数;∴能翻成功
②翻2次(=8÷4)
   通常,考题中的N是不能被M整除的,也就是说,在翻的过程中肯定有些杯子是需要重复翻的,这时,翻成功的次数必≥3次,具体最少是几次,取决于第一次翻动之后,剩余杯子数(N-M)和每次翻动杯子数M之间的关系。①N=M+1;②N>2M;③N<2M。
 2、当N=M+1时,需翻次数=杯子总数=N次 (轮翻)
例1、有8个杯口全部向上的杯子,每次将其中7个同时翻转,几次翻转杯口能全部向下?  
解:①∵N为偶数,M为奇数;∴(偶数次)能翻成功
②翻8次(轮翻,次数=N)
 具体操作如下:(○表示杯口朝上,●表示杯口朝下)   ○○○○○○○○   
第1次 ●●●●●●●○   第2次 ○○○○○○●●   
第3次 ●●●●●○○○第4次 ○○○○●●●●   
第5次 ●●●○○○○○   第6次 ○○●●●●●●
第7次 ●○○○○○○○   第8次 ●●●●●●●●
(第1次第1个不翻,第2次第2个不翻,每3次第3个不翻。。。。。。第8次第8个不翻)
结论:通过上图发现,每两次就能翻成两个,所以8个杯子每次翻7个需8次翻成功,共翻了56次,每个杯子翻了7次。事实上,每当重复翻动一个杯子,即将已翻成杯口朝下的杯子先翻回杯口朝上,下次再翻成杯口朝下,这个过程实际上是将一个杯子多翻了两次,假设不重复翻的话,相当于在原杯子总数N的基础上另外增加了两个杯子,即有(N+2)个杯子。同理,若需要重复翻动a个杯子就可看做共有(N+2a)个杯子需要翻动。显然,8个杯子,每次须翻动7个,那么第二次翻动时一定有6个杯子被重复翻动,可看成每次增加2×6=12个杯子,则翻动次数为(8+12×4)÷7=8(次),8+12×4=56表示总次数,还可知每个杯子均被翻56÷8=7次。
2、当N>2M
例2:有13个杯口全部向上的杯子,每次将其中5个同时翻转,几次翻转杯口全部向下?  
解:①∵N为奇数,M为奇数;∴能翻成功
②需翻动奇数次(13个奇数之和是奇数=5×翻动次数,翻动次数存在且必为奇数)
具体操作如下:(○表示杯口朝上,●表示杯口朝下)   ○○○○○○○○○ ○○○○ 
第1次 ●●●●●○○○○ ○○○○(剩下的是偶数,先翻一个,再由左边补足