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著名数学家—贾宪
一、人物简介
贾宪,我国11世纪前半叶北宋杰出的数学家。曾撰写有《黄帝九章算法细草》(九卷)和《算法古集》(二卷),都已失传。据《宋史》记载,贾宪师从数学家楚衍学天文、历算,《黄帝九章算法细草》、《释锁算书》等书。虽然贾宪的著作已经丢失了,但他对数学的贡献是非常巨大的。他他的《黄帝九章算法细草》的主要内容被南宋数学家杨辉著《详解九章算法》摘录,因能传世。
二、数学成就
在中国数学史上贾宪最早发现贾宪三角形。贾宪的主要贡献是创造了“贾宪三角”和“增乘开方法”。根据杨辉的摘录,贾宪的高次开方法是以一张为“开方作法本源”的图为基础。开方作法本源图(采自《永乐大典》)现称“贾宪三角”或“杨辉三角”,它实际上是一张二项系数表即x+ann=0,1,2⋯6展开的各项系数。目前中学数学中的综合除法,其原理和程序相仿。增乘开方法比传统的方法整齐简捷,又更程序化,所以在开高次方时,尤其显出它的优越性。
杨辉著《释九章算法》(1261年)中曾引用贾宪的“开方作法本源”图(即指数为正整数的二项展开系数表,现称“杨辉三角形”)和“增乘开方法”(求高次幂的正根法)。贾宪三角比帕斯卡三角形还早600年。此外,“立成释锁开方法”的给出,“勾股生变十三图”的完善,以及“增乘方求廉法”的创立,都表明贾宪对算法抽象化、程序化、机械化作出了重要贡献。
三、数学方法论
贾宪的数学方法论主要体现在以下两个方面:抽象分析、程序化方法。
抽象分析
虽然有关贾宪的资料保存下来的并不完整,我们仍然可以从杨辉记录的细草中发现一些独到的数学思想和方法。例如在研究《九章》过程中,贾宪使用了抽象分析法,尤其在解决勾股问题时更为突出,他首先提出了“勾股生变十三图”。他说“勾股弦并而为和,减而为较,等而为变,为乘,为段,自乘为积,为幂。”十三名指勾(a)、股(b)、弦(c)、勾股较(b-a)、勾弦较(c-a)、股弦较(c-b)、勾股和(a+b)、勾弦和(a+c)、股弦和(b+c)、弦较和(c+(b-c))、弦和和(c+(a+b))、弦和较((a+b)-c)、弦较教(c-(b-a))。他完备了勾股弦及其和差的所有关系,说这些关系“有用而取,无用不取,立图验之”,说明他已经抛开《九章》算题本身,并对勾股问题进行抽象分析了。
程序化方法
程序化方法主要是指探究问题的思维程序、过程和步骤。适用于同一理论体系下,同一类问题的解决。贾宪的“增乘开方法”和“增乘方求廉法”尤其集中地体现了这一方法。当代学者研究发现,程序化的数学思想方法是中国古代数学的重要特点,而贾宪的工作则使得开方程序系统化、规范化。贾宪的数学方法论,对宋元数学家产生了深远的影响,纵观“宋元四大家”,莫不从中汲取精髓。
四、教育思想
贾宪是否从事过数学教学工作,我们不得而知,但就宋初私学的活跃以及数学他的地位而言,不能排除他传授数学知识的可能性,“宪运算亦妙,有书传于世”当可佐证。我们知道,古代学者著书立说目的之一就是教育世人,因此我们有理由探讨贾宪的数学教育思想。仔细研究细草,从中可以发现其数学教育思想的闪光之处。
例如:他重视对一般性解法的抽象、注重对知识纲要的概括、系统化的数学教育思想以及注重发散性思维的锻炼。
重视对一般性解法的抽象
我们从“增乘开方法”的两例细草中,可以清楚的看到,剔除数字后得到的就是