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高等数学上册重要知识点
函数与极限
一. 函数的概念
1 两个无穷小的比较
设且
(1)l = 0,称f (x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f (x) = 0[],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
(2)l ≠ 0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
(3)l = 1,称f (x)与g(x)是等价无穷小,记以f (x) ~ g(x)
2 常见的等价无穷小
当x →0时
sin x ~ x,tan x ~ x, ~ x, ~ x
1− cos x ~ , −1 ~ x , ~ x ,~
二求极限的方法
两个准则

准则2.(夹逼定理)设g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) 放缩求极限
若,则
两个重要公式
公式1
公式2
用无穷小重要性质和等价无穷小代换
★用泰勒公式
当时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次
洛必达法则
定理1 设函数、满足下列条件:
(1),;
(2)与在的某一去心邻域内可导,且;
(3)存在(或为无穷大),则
这个定理说明:当存在时,也存在且等于;当为无穷大时,也是无穷大.
这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达(ospital)法则.
例1计算极限.
解该极限属于“”型不定式,于是由洛必达法则,得
.
例2计算极限.
解该极限属于“”型不定式,于是由洛必达法则,得
.
注若仍满足定理的条件,则可以继续应用洛必达法则,即
二、型未定式
定理2 设函数、满足下列条件:
(1),;
(2)与在的某一去心邻域内可导,且;
(3)存在(或为无穷大),则
注:上述关于时未定式型的洛必达法则,对于时未定式型同样适用.
例3计算极限.
解所求问题是型未定式,连续次施行洛必达法则,有
.
使用洛必达法则时必须注意以下几点:
(1)洛必达法则只能适用于“”和“”型的未定式,其它的未定式须先化简变形成“”或“”型才能运用该法则;
(2)只要条件具备,可以连续应用洛必达法则;
(3)洛必达法则的条件是充分的,,在该法则失效时并不能断定原极限不存在.

基本公式(如果存在)
利用定积分定义求极限
基本格式(如果存在)
函数的间断点的分类
函数的间断点分为两类:
第一类间断点
设是函数y = f (x)的间断点。如果f (x)在间断点处的左、右极限都存在,则称是f (x)的第一类间断点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
(2)第二类间断点
第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
闭区间上连续函数的性质
在闭区间[a,b]上连续的函数f (x),有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。
定理1.(有界定理)如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续,则f (x)必在[a,b]上有界。
定理2.(最大值和最小值定理)如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续,则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m 。
定理3.(介值定理)如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续,且其最大值和最小值分别为
M 和m ,则对于介于m和M 之间的任何实数c,在[a,b]上至少存在一个ξ,使得f (ξ) = c
推论:如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续,且f (a)与f (b)异号,则在(a,b)内至少存在一个点ξ,使得f (ξ) = 0这个推论也称为零点定理
第二章导数与微分

设y = f (u),u =ϕ(x),如果ϕ(x)在x处可导,f (u)在对应点u处可导,则复合函数y = f [ϕ(x)]在x处可导,且有
对应地,由于公式不管u 是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。

设x =ϕ(t),y =确定函数y = y(x),其中存在,且≠ 0,则
二阶导数

设y = f (x)的反函数x = g(y),两者皆可导,且f ′(x) ≠ 0
则
4 隐函数运算法则(可以按照复合函数理解)
设y = y(x)是由方程F(x, y) = 0所确定,求y′的方法如下:
把F(x, y) = 0两边的各项对x求导,把y 看作中间变量,用复合函数求导公式计算,然后再解出y′的表达式(允许出现y 变量)
5 对数求导法则(指数类型如)
先两边取对数,然后再用隐函数求导方法得出导数y′。
对数求导法主要用于:①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数(注意定义域 P106 例6)
关于幂指函数y = [f (