2.4有限群不可约表示特征标表.ppt

、特征标是研究群表示的重要且有效的工具即表示矩阵D(R)对角线上元素和为元素R的特征标。(G)是群G的一个表示,表示D(G)的特征标记为χ(G)其中群元素R的表示矩阵D(R)对应的特征标χ(R)♣设有限群G:阶为g有n个不等价不可约表示Di(G),i=1,2,...,nDi(G)的维数为mi,特征标为χi(G)●上面特征标的性质并不要求群G是有限群,是所有群特征标的普遍性质,下面给出有限群特征标的性质(上节涉及的定理和推论)♣等价表示的特征标相等♣同一表示中,共轭元素特征标相等♣特征标是类的函数,即同类元素特征标相等♣恒元的特征标等于表示的维数若恒元的表示D(E)的维数为m,则χ(E)=TrD(E)m×m=)正交关系对群元素求和,特征标作为群空间矢量对类求和,特征标作为类空间矢量(加上归一化系数)2)完备性特征标构成类空间完备基,)特征标内积可约表示约化为几个不可约表示的过程中,有的不可约表示不止出现一次(重数)不可约表示:D(R)=Dj(R),χ(R)=χj(R))、,作为类的函数列出一个表,称为群G的特征标表。建立特征标表的原因●在给定的线性空间,群表示的矩阵形式不唯一依赖于基的选择,甚至依赖于基的排序但众多的表示是定义在同一线性空间,可以通过相似变换联系,即都是等价的●虽然群的表示矩阵不唯一,但是矩阵的迹(特征标)在相似变换下不变(等价的表示特征标对应相等)因此,表示的特征标成为表示的特征,●群论的主要任务就是对于各种典型的群,特别是物理中常见的对称变换群,寻找它们所有不等价不可约表示,研究可约表示的约化方法●对有限群,我们可以先找到群的所有不等价不可约表示的特征标,列成特征标表,再找不可约表示的表示矩阵,可使问题简化●有限群不等价不可约表示的特征标都满足前面列出的性质,那些性质是写特征标表的依据,也是检验表是否正确的依据1)复共轭表示将一表示的所有表示矩阵都取其复共轭D(R)*,它们的集合也构成原群的表示,称为原表示的复共轭表示互为复共轭的表示,)自共轭表示若互为复共轭的两个表示等价D(R)*=X-1D(R)X,则称为自共轭表示自共轭表示的特征标必为实数3)群G的两个不可约表示的直乘仍是G的一个表示特别是:其中一个是一维表示,:行:群包含的几个类设有gc个类,第α类记为前面写上类元素的个数n(α)列:群的几个不等价不可约表示有限群不等价不可约表示个数=:每一行是一个不可约表示Di对应不同类的特征标χiα(α=1,...,gc)每一列是群每类元素在不同表示Di中的特征标χiα(i=1,...,gc)特征标表是一个正方形表:gc×,因此特征标表的任两行(列)满足下列正交关系:正交关系既是写特征标表的依据,也是检验结果的依据写一个群的特征标表,通常表内第一行:给出恒等表示D1的特征标χ1α=1,即表的第一行为1第一列:给出恒元E表示的特征标χi(E)=mi,即表的第