高一衔接教材(复合函数及抽象函数的单调性).doc

复合函数的单调性
复合函数的定义:
设y=f(u)定义域A,u=g(x)值域为B,若A B,则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数,u叫中间量
复合函数的单调性
复合函数的单调性由两个函数共同决定;
引理1:已知函数y=f[g(x)],若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,那么,原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
证明:在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,所以g(x1)<g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1<u2,且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,所以f(u1)<f(u2), 即y=f[g(x1)]< y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
引理2:已知函数y=f[g(x)],若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
证明:在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是减函数,所以g(x1)>g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2,且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数,所以f(u1)<f(u2), 即y=f[g(x1)]< y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
若u=g(x)
y=f(u)
则y=f[g(x)]
规律:当两个函数的单调性相同时,其复合函数是增函数;当两个函数的单调性不相同时,其复合函数是减函数。“同增异减”
解:由1-9x2≥0得:-1/3≤x≤1/3
当-1/3≤x≤0,x增大时,1-9x2增大,f(x)减小
当0<x≤1/3,x增大时,1-9x2减小,f(x)增大
∴函数的单调区间是[-1/3,0],[0,1/3]。
例2. 已知f ( x )=-x2 + 2x + 8,g ( x ) = f ( 2-x 2 ),求g ( x )的单调增区间.
【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题,所以应“分层剥离”为两个函数
t=-x2+2 ① y = f ( t ) =-t 2 + 2t + 8 ②
【解题思路】
x∈某区间A t∈某区间B

①在A上的增减性
②在B上的增减性
g ( x )在A上的
单调性
关键是A的端点如何确定?
Þ
【解】设t =-x2 + 2 ①
y =-t 2 +2t + 8 ②
函数②的增、减转折点是 t = 1,把 t = 1 代入①,得 x1=-1,x2=1,又①的增、减转折点是 x3 = 0,
于是三个关节点把数轴分成四个区间:
,
,
,
(1)x∈(-∞,-1] 时,函数①递增,且t≤1,而t ∈(-∞, 1]
时,函数②也递增,故(-∞,-1] 是所求的一个单调增区间;
(2)x∈(-1,0]时,函数①递增,且t∈(1,2] ,
而 t∈(1,2] 时,函数②