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用相邻数表示三维图像的欧拉-庞加莱特性1
林小竹,周晓正,王彦敏
北京石油化工学院信息工程学院,北京(102617)
E-mail:linzhu1964@
摘要:图像的欧拉-庞加莱特性是数字拓扑学的重要特征参数之一,计算图像欧拉数的方
法被不断探索更新。为了更好地理解三维图像欧拉数的本质和方便地计算三维图像的欧拉
数,通过对三维图像连通性的深入研究,在定义三维图段和三维相邻数两个基本概念的基础
上,提出了局部计算三维图像欧拉数的新公式和计算三维相邻数的方法。不同于以往对像素
和连通性的描述,为局部计算三维图像的欧拉数提供了新途径。
关键词:数字拓扑学,欧拉数,三维图像,连通性
中图分类号:


三维欧拉—庞加莱特性(Euler-Poincare characteristic)或简称三维欧拉数分为三维表面
欧拉数和三维体欧拉数,Lee[1]利用现代微分几何学的Gauss-定理对多面体的三维表
面欧拉数做了研究,多面体的三维表面欧拉数和三维体欧拉数存在固定关系
( χ(∂S)=2χ(S) ),但对非流形,该关系不再成立。Xia [2,3]则对包括流形和非流形在内
的三维表面欧拉数做了研究,提出了一个新的三维数字物体的表面拓扑不变量BIUP
(boundary invariant under propagation)。本文则对三维体欧拉数的计算进行了较为深入的
研究。
对于三维图像,欧拉数可由三个Betti数表示[4],公式为:
E=b0-b1+b2 (1)
其中b0代表连接体数,b1代表孔洞数,b2代表空穴数。由于三维空间中孔洞定义的
多义与不确定性,Lee[5,6]对Betti数进行了较好的解释,将b1解释成代表不产生分离的
最大切割数,也被称为handle或tunnel,b 2则被称为bubble或cavity。但Betti数不能由象点和
边这样的局部性质计算得到,因此不能将计算分解成每个网格片的子任务,即公式(1)是
一种全局测量公式,无法进行局部计算。
除了全局定义公式(1),三维图像体欧拉数也可以由局部性质计算得到。由局部性质
计算三维图像欧拉数的算法最早可以追溯到1970年Gray[7]和Park [8]的论文,但他们的算法
只对三维图像的6-邻域连接有效。另一种欧拉数的局部算法可以参见文献[9],由
Morgenthaler 在1980年提出,它访问每个2X2X2方块,有256中可能的模式,但该算法只对
三维图像的26-邻域连接有效,而且被后续的研究[10,11]所沿用。Saha[12,13]描述了计算
三维图像欧拉数的新方法,它是基于计算3X3X3邻域内前景分量、管道和空穴在数量上的变
化。Serra[14] 在他的《图像分析与数学形态学》一书中第135页给出了计算三维空间体欧拉
数的两个公式(V-8)和(V-9),他是基于代数拓扑学凸环(convex ring)的性质归纳得到
这些公式的,由边界表面的示性数(genus)计算三维空间体欧拉数。我们的工作则从另一
种角度——在定义三维图段和三维相邻数两个新概念的基础上,考虑邻域连接的复杂性,无
论研究思路还是公式内单项的几何意义都与Serra的不相同,尽管所得公式从