4高数同济习题课.ppt

习题1-2中的部分习题:
解
证明
因为una(n),
|una|
从而
这就证明了|un||a|(n).
||un||a||
|una|
.
所以>0, NN, 当n>N时, 有
数列{|xn|}有极限不能保证数列{xn}也有极限.
K1, 当2k>2K1时, 有|x2ka|<;
K2, 当2k+1>2K2+1时, 有|x2k+1a|<.
取Nmax{2K1, 2K2+1}, 只要n>N, 就有
|xna|<.
因此xna (n ).
证明
因为x2ka (k ), x2k1a (k ),
所以>0,
习题1-3中的部分习题:
3. 当x2时, yx24. 问等于多少, 使当|x2|<时, |y4|<0. 001?
7. 证明: 若x及x时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则f(x)A(x).
8. 根据极限的定义证明: 函数f(x)当xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.
9. 试给出x时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.
3. 当x2时, yx24. 问等于多少, 使当|x2|<时, |y4|<0. 001?
取, 则当0|x2|时, 就有|x24|0. 001.
解
由于x2, |x2|0,
要使
|x24||x2||x2|
5|x2|
0. 001,
只要|x2|.
不妨设|x2|1, 即1x3.
7. 证明: 若x及x时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则f(x)A(x).
X10, 使当xX1时, 有|f(x)A|;
X20, 使当xX2时, 有|f(x)A|.
取Xmax{X1, X2}, 则当|x|X时, 有
|f(x)A|,
即f(x)A(x).
证明
因为f(x)A(x) f(x)A(x),
所以>0,
8. 根据极限的定义证明: 函数f(x)当xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.
使当0<|xx0|<时, 有
|f(x)A|<.
因此当x0<x<x0和x0<x<x0时都有
|f(x)A|<.
这说明f(x)当xx0时左右极限都存在并且都等于A .
必要性证明
设f(x)A(xx0), 则>0, 0,
8. 根据极限的定义证明: 函数f(x)当xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.
充分性证明
1>0, 使当x01<x<x0时, 有| f(x)A<;
2>0, 使当x0<x<x0+2时, 有| f(x)A|<.
取min{1, 2}, 则当0<|xx0|<时, 有
x01<x<x0及x0<x<x0+2 ,
从而有
| f(x)A|<,
即f(x)A(xx0).
设f(x0)f(x0)A, 则>0,
9. 试给出x时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.
局部有界性的定理如果f(x)当x时的极限存在则存在X0及M0使当|x|X时|f(x)|M
解
这就是说存在X0及M0使当|x|X时|f(x)|M其中M1|A|
局部有界性的定理的证明
设f(x)A(x)
则对于1X0当|x|X时有
|f(x)A|1
所以
|f(x)|
|f(x)AA|
|f(x)A||A|
1|A|