高数2 第九章 偏导数.ppt

第二节
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一、偏导数概念及其计算
二、高阶偏导数
偏导数
第九章
一、偏导数定义及其计算法
引例:
研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度,
就是
中的 x 固定于
求
一阶导数与二阶导数.
x0 处,
关于 t 的
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将振幅
定义1.
在点
存在,
的偏导数,记为
的某邻域内
则称此极限为函数
极限
设函数
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注意:
同样可定义对 y 的偏导数
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点( x , y ) 处对 x
则该偏导数称为偏导函数,
也简称为
偏导数,
记为
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或 y 偏导数存在,
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点(x , y , z) 处对 x 的
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.
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偏导数定义为
(请自己写出)
x
z
y
0

由一元函数导数的几何意义:
z= f (x,y)
L:
L
= tan
偏导数的几何意义
.
y =y0
同理,
.
M
Tx
固定 y =y0
M

z= f (x,y)
L
x =x0
固定 x =x0
Tx
偏导数的几何意义
.
x
z
y
0
M

由一元函数导数的几何意义:
z= f (x,y)
L
= tan
.
x =x0
固定 x =x0
Tx

Ty
偏导数的几何意义
.
x
z
y
0
二元函数偏导数的几何意义:
是曲线
在点 M0 处的切线
对 x 轴的斜率.
在点M0 处的切线
斜率.
是曲线
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对 y 轴的
函数在某点各偏导数都存在,
显然
例如,
注意:
但在该点不一定连续.
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在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!