第十六章 偏导数与全微分.doc

第十六章偏导数与全微分
§1偏导数与全微分概念
这部分要掌握的
连续、偏导数、可微三个概念的定义;
连续、偏导数、可微三个概念之间的关系;
二元函数的连续、偏导数、可微的概念都是用极限定义的,不同的概念对应不同的极限,切勿混淆。考虑函数在点的情形,则它们分别为:
在点连续定义为:
在点存在偏导数定义为:
或
或
在点可微定义为:

因此,要讨论点的可微性,首先要求,。这三个概念之间的关系可以用下图表示(在点)
连续
3
,连续
可微
1 2

,存在
4
在上述关系中,反方向均不成立。下面以点为例,逐一讨论。
42 ,43 例1:
这是教材中的典型例题,均存在,但在点不可微,且
不存在,即在点不连续。
34 ,32例2:,这是上半圆锥,显然在点连续,

但
故不存在。由的对称性,不存在。从而,在点不可微(否则,,均存在)。
21 例3:
,
由的对称性,。

()
故在点可微。且
取点列,,,显然
故不存在,从而在点不连续。由的对称性,在点也不连续。
对一元函数,可微与可导是等价的,即:可微可导。但对二元函数,可微与偏导存在并不等价,即:可微偏导存在,反之未必。应特别引起注意。
§2 复合函数与隐函数微分法
求复合函数与隐函数的偏导数,关键在于搞清楚各变量之间的关系。在求复合函数的高阶偏导时,尤其要搞清楚偏导函数各变量之间的关系。只有明确了变量之间的关系,才可能正确使用链式法则。
例1 设为常数,函数二阶可导,,证明

证变量之间的关系为注意这里是某变量的一元函数,而。
因为,
由的对称性得,
而, ,
由的对称性得, ,
, 。
于是
又因为
,
故。
注1 在求时,要特别注意的函数关系仍然是
注2 在求时,注意正确使用导数符号,不要写成,也不要写成或。事实上,。
注3 上面的证明简洁清楚,所要求证的微分方程的左边是,函数作为自变量的函数,是由中间变量复合而成,利用
,
我们得到了
这样把求对自变量的偏导数转化为对中间变量的偏导数,从而使计算简单了。试比较直接求的情形。

由的对称性得
则。
例2 设的所有二阶偏导数都连续,
, ,
试求,,。
证注意,是对求偏导数之后,令所得的函数,而不是作为的一元函数对的导函数。
在两边对求导,得
将代入,得
上式两边对求导,得
在两边对求导,得
因为有连续的二阶偏导数,则,又已知,将上两式联立解得
, 。
即, 。
例3 若函数对任意正实数满足关系,则称为次奇次函数。设可微,试证明为次齐次函数的充要条件是

证令,则
,
故与无关,从而,即

方程两边分别对求导,得
,
,
,
,
将前面三式代入第四式即得
。
或在上面四式中令,得
,,,
即。

变换微分方程
例4 设,,,变换方程

(假设出现的导数都连续)。
解这里既有自变量的变换,,也有函数的变换。自变量由原来的变换为,函数由原来的变换为。为了把原来的函数变换为函数,可以把原来的函数视为如下的复合
, , ,
即
则

故
即
例5 设,求。
证方程确定了函数,在方程两边求微分,得

两边再求微分,得
解得


故
§4 方向导数
对多元函数,前面曾讨论了它在某点的可微、偏导数、连续之间的关系。下面进一步讨论方向导数与这些概念之间的关系。如下图
连续
2


,存在
可微
1 3 5
,,存在
,存在
4
14 课本定理
35 由偏导数定义和方向导数定义即得。
43,53 例:函数在点沿任意方向的方向导数存在,
z
特别地,沿坐标轴正、负向的方向导数为
, 。 y
但不存在。同理,不存在。
从上面的讨论不难看出,关于3、5有以下结论:
,存在,存在,且
,
这时有,。

41 否则有43,与43矛盾
42 例:
故在点不连续。但任意方向,当时,
,
当时, ,
即在点沿任意方向的方向导数都存在

52 否则有42,与42矛盾。或否则与 32矛盾。
24 例: 设,显然在点连续,但沿任意方向
的方向导数不存在,事实上
不存在。
34 例: 设,则,但
时, 不存在。
§5 Taylor公式
Taylor公式的几种形式
若函数在点的某领域内有直到阶连续偏导数,则
(1)
其中
(2)为方便,记,则
其中
(3)
其中
这是用微分表示的Taylor公式,它与一元函数的Taylor公式在形式上更为接近,由此也可以看到一元函数中在二