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多元函数的偏导数
偏导数的概念、计算和几何意义 偏导数的概念、计算和
偏导数存在性与连续性的关系几何意义
高阶偏导数
混合偏导数与求导顺序无关的条件

偏导数是多元函数微分学的最基本的概念之一.
假设二元函数 f (x, y) 在点(x0 , y0 ) 的某个邻域中有定义.
微分学的任何一个概念,
固定 y = y ,使 x 在 x 附近变动,f (x, y ) 就成为 x 的
0 0 0
微分学的所有运算,首先要求偏导数. 一元函数. 如果这个函数在 x0 可导, 即存在极限:
本节研究下列问题:
d f (x0 + Δx, y0) − f (x0, y0)
f (x, y0) = lim .
,几何意义以及计算; dx Δx→0 Δx
; 则称这个导数为 f (x,y),在(x0,y0)关于变元 x 的偏导数.
. ∂f (x , y ) ∂f
记为 0 0 , 或者. 或者 f ′( , y ) .
(x0, y ) x x0 0
基本要求:正确熟练地求偏导数. ∂x ∂x 0
同样的方式可以定义另一个关于变元 y 的偏导数. z z
固定 x = x0 ,使 y 在 y0 附近变动,
f (x0, y) 就成为 y 的一元函数.
y
如果这个函数在 y 可导,即下面的导数存在: O O
0 β
d f (x , y + Δy) − f (x , y )
f (x , y) 0 0 0 0 x y x
0 y0 = lim . α
dy Δy→0 Δy
偏导数的几何意义
则称这个导数为 f (x,y),在(x0,y0)关于变元 y 的偏导数.
∂f ∂f ∂f
∂f (x0, y0) 或者= tanα( , ) = tan β
记为或者, f y′(x0, y0) . ( x0, y0) x0 y0
, ( x0, y0) ∂x ∂y
∂y ∂y
1
y
例1 f (x, y) = cos .
y ∂f (x, y) ∂f (x, y) x
f (x, y) = cos , 对于任意的(x, y),求, .
x ∂x ∂y 将变元 x 看作常数, f (x, y) 看作 y 的一元函数.
解将变元 y 看作常数, f (x, y) 看作 x 的一元函数. 按照一元函数求导数:
按照一元函数求导数: ∂f (x, y) 1 y ∂f π
= − sin . π= −sin = −1.
x x ∂y (1, ) 2
∂f (x, y) y y y y ∂y 2
= −sin ⋅(−) = 2 ⋅sin
∂x x x2 x x 也可以先固定 x=1 , 再对于 y 求导:
∂f πππ∂f d y
= −sin y π= −1.
π= sin = . π= (cos ) y=π y=
∂x (1, ) 2 2 2 ∂y (1, )