偏导数的几何应用举例.ppt

一、偏导数的几何应用举例一、偏导数的几何应用举例二、多元函数的极值二、多元函数的极值第五节偏导数的应用第九章多元函数微分学第九章多元函数微分学一、偏导数的几何应用举例一、偏导数的几何应用举例1. 空间曲线的切线与法平面定义1设M0 是空间曲线?上的一点,M 是??趋向于点M0时,则称割线M0M的极限位置M0T(如果存在)为曲线?在点M0处的切线. 过点M0 且与切线M0T垂直的平面,称为曲线??的参数方称为?????),(tyy?),(tzz?当t = t 0时,曲线?上的对应点为M0(x0 , y0 , z0).假定可导,)()()(tztytx、、且不同时为零.)()()(000tztytx???、、给t0以增量?t,在曲线?上就有一对应点),,,(000zzyyxxM??????则割线M0M的方程为),(txx?对上式取极限,,000zzzyyyxxx????????上式中各分母除以,t?得,000tzzztyyytxxx???????????当点M沿曲线趋向于点M0时,???t因为上式各分母趋向于,)()()(000tztytx???、、且不同时为零,所以割线的极限位置存在,,)()()(000000tzzztyyytxxx???????????.)(),(),(000tztytx???容易知道,曲线?在点M ))(())(())((000000?????????zztzyytyxxtx且为例1上对应于的点处4????t,24cos2???x,24sin2????z因为,sin2tx???,cos2ty??,2??z求螺旋线??????,cos2tx,sin2ty?tz2?所以,24π????tx,24π??????πtz于是,所求点处的切线方程为,2π422222????????????zyx该点处的法平面方程为,0)π42(2)2(2)2(2???????????zyx例2求曲线,1612:22?????xxyz?在对应于的点处21? = t,则曲线?的参数方程为,162ty?.122tz?当时,21??xt,4??z??????,tx因为,121???tx,1621???ty,1221???tz所以所求点处的切线方程为,123164121?????zyx法平面方程为,0)3(12)4(1621??????????zyx