高阶偏导数.ppt

高等院校非数学类本科数学课程
大学数学
(三)
多元微积分学
第一章
多元函数微分学
第一章多元函数微分学
本章学习要求:
理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
知道二元函数的极限、连续性等概念,以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。
理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。
熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。了解求偏导与求导顺序无关的条件。
理解方向导数的概念,并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。
会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。
知道二元函数的泰勒公式形式。
知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。
熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。
了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。
11. 了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟
练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。
12. 理解二元函数无约束极值的概念,能熟练求出二元函数的无约
束极值。了解条件极值(有约束极值)的概念,能熟练运用拉
格朗日乘数法求条件极值。
13. 掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些
较简单的最大值和最小值的应用问题。
第七节高阶偏导数
多元函数的高阶导数与一元函数的情形类似.
一般说来, 在区域内, 函数 z = f (x, y) 的偏导数
仍是变量 x , y 的多元函数, 如果偏导数
的二阶偏导数.
依此类推, 可定义多元函数的更高阶的导数.
仍可偏导, 则它们的偏导数就是原来函数
一般地, 若函数 f (X) 的 m-1 阶偏导数仍可偏导,则称其偏导数为原来函数的 m 阶偏导数.
二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数, 其
中, 关于不同变量的高阶导数, 称为混合偏导数.
例
高阶偏导数还可使用下列记号
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项