2010年考研数学一真题及答案.docx

2010年考研数学一真题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。)极限limx→∞[x2(x-a)(x+b)]x=(A)1(B)e(C)ea-b(D)eb-a【考点】C。【解析】【方法一】这是一个“1∞”型极限limx→∞[x2(x-a)(x+b)]x=limx→∞{[1+a-bx+ab(x-a)(x+b)](x-a)(x+b)a-bx+ab}a-bx+ab(x-a)(x+b)x=ea-b【方法二】原式=limx→∞exlnx2(x-a)(x+b)而limx→∞xlnx2(x-a)(x+b)=limx→∞xln(1+a-bx+ab(x-a)(x+b))=limx→∞x∙a-bx+ab(x-a)(x+b)(等价无穷小代换)=a-b则limx→∞[x2(x-a)(x+b)]x=ea-b【方法三】对于“1∞”型极限可利用基本结论:若limα(x)=0,limβ(x)=0,且limαxβx=A则lim1+αxβx=eA,求极限由于limx→∞αxβx=limx→∞x2-(x-a)(x+b)(x-a)(x+b)∙x=limx→∞(a-b)x2+abx(x-a)(x+b)=a-b则limx→∞[x2(x-a)(x+b)]x=ea-b【方法四】limx→∞x2x-ax+bx=limx→∞x-ax+bx2-x=limx→∞(1-ax)-x∙limx→∞1+bx-x=ea∙e-b=ea-b综上所述,本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较,极限的四则运算,两个重要极限设函数z=z(x,y)由方程Fyx,zx=0确定,其中F为可微函数,且f''2≠0,则x∂z∂x+y∂z∂y=。(A)x(B)z(C)-x(D)-z【答案】B。【解析】因为∂z∂x=-Fx'Fz'=-F1'-yx2+F2'-zx2F2'∙1x=F1'∙yx+F2'∙zxF2',∂z∂y=-Fy'Fz'=-F1'∙1xF2'∙1x=-F1'F2'所以x∂z∂x+y∂z∂y=F1'∙y+F2'zF2'-yF1'F2'=F2'zF2'=z综上所述,本题正确答案是(B)。【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微分设m,n为正整数,则反常积分01mln2(1-x)nxdx的收敛性(A)仅与m的取值有关(B)仅与n的取值有关(C)与m,n的取值都有关(D)与m,n的取值都无关【答案】D。【解析】本题主要考察反常积分的敛散性,题中的被积函数分别在x→0+和x→1-时无界01mln2(1-x)nxdx=012mln2(1-x)nxdx+121mln2(1-x)nxdx在反常积分012mln2(1-x)nxdx中,被积函数只在x→0+时无界。由于mln2(1-x)nx≥0,limx→0+mln2(1-x)nx1nx=0已知反常积分0121nxdx收敛,则012mln2(1-x)nxdx也收敛。在反常积分121mln2(1-x)nxdx中,被积函数只在x→1-时无界,由于mln2(1-x)nx≥0limx→1-mln2(1-x)nx11-x=limx→1-ln2m(1-x)(1-x)12=0(洛必达法则)且反常积分121dx1-x收敛,所以121mln2(1-x)nxdx收敛综上所述,无论m,n取任何正整数,反常积分01mln2(1-x)nxdx收敛。综上所述,本题正确答案是D。【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分limn→∞i=1nj=1nn(n+i)(n2+j2)=(A)01dx0x1(1+x)(1+y2)dy(B)01dx0x1(1+x)(1+y)dy(C)01dx011(1+x)(1+y)dy(D)01dx011(1+x)(1+y2)dy【答案】D。【解析】因为limn→∞i=1nj=1nn(n+i)(n2+j2)=limn→∞i=1nj=1nnn(1+in)n2(1+(jn)2)=limn→∞i=1nj=1n1(1+in)(1+(jn)2)∙1n2=01dx011(1+x)(1+y2)dy综上所述,本题正确答案是C。【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,E为m阶单位矩阵,若AB=E,则(A)秩rA=m,秩rB=m(B)秩rA=m,秩rB=n(C)秩rA=n,秩rB=m(D)秩rA=n,秩rB=n【答案】A。【解析】因为AB=E为m阶单位矩阵,知rAB=m又因rAB≤min⁡(rA,r(B)),故m≤rA,m≤r(B)另一方面,A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,又有rA≤m,r(B)≤m可得秩rA=m,秩rB=m综上所述,本题正确答案是A。【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩设A为4阶实对称矩阵,且A2