2010年考研数学一真题及答案.doc

2010年考研数学一真题
一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。)
极限limx→∞[x2(x-a)(x+b)]x=
(A)1 (B)e
(C)ea-b (D)eb-a
【考点】C。
【解析】
【方法一】
这是一个“1∞”型极限
limx→∞[x2(x-a)(x+b)]x=limx→∞{[1+a-bx+ab(x-a)(x+b)](x-a)(x+b)a-bx+ab}a-bx+ab(x-a)(x+b)x=ea-b
【方法二】
原式=limx→∞exlnx2(x-a)(x+b)
而limx→∞ xlnx2(x-a)(x+b)=limx→∞ xln(1+a-bx+ab(x-a)(x+b))
=limx→∞ x∙a-bx+ab(x-a)(x+b) (等价无穷小代换)
=a-b
则limx→∞[x2(x-a)(x+b)]x=ea-b
【方法三】
对于“1∞”型极限可利用基本结论:
若lim α(x)=0, lim β(x)=0,且lim αxβx=A
则lim1+αxβx=eA,求极限
由于limx→∞αxβx=limx→∞x2-(x-a)(x+b)(x-a)(x+b)∙x
=limx→∞(a-b)x2+abx(x-a)(x+b)=a-b
则limx→∞[x2(x-a)(x+b)]x=ea-b
【方法四】
limx→∞x2x-ax+bx=limx→∞x-ax+bx2-x
=limx→∞(1-ax)-x∙limx→∞1+bx-x=ea∙e-b=ea-b
综上所述,本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较,极限的四则运算,两个重要极限
设函数z=z(x,y)由方程Fyx,zx=0确定,其中F为可微函数,且f''2≠0,则x∂z∂x+y∂z∂y= 。
(A)x (B)z
(C)-x (D)-z
【答案】B。
【解析】
因为∂z∂x=-Fx'Fz'=-F1'-yx2+F2'-zx2F2'∙1x=F1'∙yx+F2'∙zxF2',
∂z∂y=-Fy'Fz'=-F1'∙1xF2'∙1x=-F1'F2'
所以x∂z∂x+y∂z∂y=F1'∙y+F2'zF2'-yF1'F2'=F2'zF2'=z
综上所述,本题正确答案是(B)。
【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微分
设m,n为正整数,则反常积分01mln2(1-x)nxdx的收敛性
(A)仅与m的取值有关(B)仅与n的取值有关
(C)与m,n的取值都有关(D)与m,n的取值都无关
【答案】D。
【解析】
本题主要考察反常积分的敛散性,题中的被积函数分别在x→0+和x→1-时无界
01mln2(1-x)nxdx=012mln2(1-x)nxdx+121mln2(1-x)nxdx
在反常积分012mln2(1-x)nxdx中,被积函数只在x→0+时无界。
由于mln2(1-x)nx≥0,
limx→0+mln2(1-x)nx1nx=0
已知反常积分0121nxdx收敛,则012mln2(1-x)nxdx也收敛。
在反常积分121mln2(1-x)nxdx中,被积函数只在x→1-时无界,由于mln2(1-x)nx≥0
limx→1-mln2(1-x)nx11-x=limx→1-ln2m(1-x)(1-x)12=0 (洛必达法则)
且反常积分121dx1-x收敛,所以121mln2(1-x)nxdx收敛
综上所述,无论m,n取任何正整数,反常积分01mln2(1-x)nxdx收敛。
综上所述,本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
limn→∞i=1n j=1n n(n+i)(n2+j2)=
(A)01dx0x1(1+x)(1+y2)dy (B) 01dx0x1(1+x)(1+y)dy
(C)01dx011(1+x)(1+y)dy (D)01dx011(1+x)(1+y2)dy
【答案】D。
【解析】
因为
limn→∞i=1n j=1n n(n+i)(n2+j2)=limn→∞i=1n j=1n nn(1+in)n2(1+(jn)2)
=limn→∞i=1n j=1n 1(1+in)(1+(jn)2)∙1n2
=01dx011(1+x)(1+y2)dy
综上所述,本题正确答案是C。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用
设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,E为m阶单位矩阵,若
AB=E,则
(A)秩rA=m,秩rB=m (B)秩rA=m,秩rB=n
(C)秩rA