矩阵相抵,相似总结.docx

矩阵相抵,相似总结 1矩阵及其运算一、矩阵的基本概念矩阵,是由m*n 个数组成的一个m行n列的矩形表格,通常用大写字母表示,组成表示,其中下标矩阵的每一个数,均称为矩阵的元素,通常用小写字母其元素都是正整数,, 或表示一个m*n矩阵,下标ij表示元素位于该矩阵的第行、,一个m*1 矩阵B=(b1,b2,?,bn),也称为一个n维行向量. ,也称为一个m维列向量;而一个1*n矩阵当一个矩阵的行数m与烈数n相等时,,而其余元素都是零,则称为单位矩阵,记为三角矩阵是一个阶下三角矩阵. ,即:.单位矩阵与实数中的‘1’,则称为下例题:既是上三角矩阵,又是下三角矩阵,.= (l≠n),则 A 的主对角线上个元素的和为(设矩阵为2行3列的矩阵,找规律)二、矩阵的运算 1、矩阵的加法: 如果),则定义它们的和的元素为和对应元素的和,即: 是两个同型矩阵, 给定矩阵减法为: ,我们定义其负矩阵为:.,容易验证,矩阵的加法满足下列运算律:(1)交换律: (3)存在零元: 2、数与矩阵的乘法的运算律: ;,所得的积为一个, 其中(即左行乘右列) 矩阵的乘法满足下列运算律:(1)结合律: (3)右分配律: (4)数与矩阵乘法的结合律: (5)单位矩阵的存在性: ;(2)左分配律: ; ;. ; 若为阶方阵,则对任意正整数,我们定义: , . ,并规定:由于矩阵乘法满足结合律,我们有: 注意:矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别,特别应该注意的是: 对称矩阵的和,仍为对称矩阵;对称矩阵矩阵,即. 可交换,即,则它们的乘积必为对称运算性质: 1)三、逆矩阵 ,如果存在n阶矩阵B,使得AB?BA?,.由定义可得,A与B一定是同阶的,而且A如果可逆,则A的逆矩阵是唯一的. 这是因为,如果B1、B2都是A的逆矩阵,则有AB1那么B1 ?B1A?E,AB2?B2A?E, ?B1E?B1(AB2)?(B1A)B2?EB2??1 矩阵记作A . 逆矩阵有下列性质:如果A可逆,则A如果这是因为?1 也可逆,且(A ?1?1 ) ?,显然有A与A?1是互逆的. A、B是两个同阶可逆矩阵,则(AB)也可逆,且(AB)?1?B?1A?1. (AB)(B?1A?1)?A(BB?1)A?1?AEA?1?A?A?1?E (B?1A?1)(AB)?B?1(A?1A)B?B?1EB?B?1B?E,所以(AB)?1?B?1A?1这个结论也可以推广到有限个可逆矩阵想乘的情形. T?1可逆矩阵A的转置矩阵A也是可逆矩阵,且(A) T T ?(A?1)T. 这是因为A所以(A?1)T?(A?1A)T?ET?E,(A?1)TAT?(AA?1)T?ET?E (AT)?1?(A?1)T. A?1?A. ?1 如果A是可逆矩阵,则有?1 这是因为AA ?E,两边取行列式有A?A?1?1,所以A?1? 1?1 ? 矩阵可逆的条件 n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0=n); n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换变换)化为n阶单位矩阵; n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积; n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零; 对于n阶方阵A,若存在n阶方阵B使得AB=E,则A可逆,且A=——求法方法1定义法:设A是数域P上的一个n阶方阵,如果存在P上的n阶方阵B,使得AB=BA =E,则称A是可逆的,,逆矩阵由A惟一确定,记为A. 例1:设A为n阶矩阵,且满足2A-3A+5E=0,求A. -1 -1 -1 2 【解】?2A2-3A+5E=0?2A2-3A=-5E 23 ?-A2-A=E ?A(-A-E)=-A-E=E 5555 23 ?A可逆且A-1=-A-E 55 1-1 方法2伴随矩阵法:AA*. |A| 定理n阶矩阵A=?A11?1?A12?1 A? A????A1n A21?A22?A2n An1?? ?An2? ???? ?Ann? A21?A22?A2n An1?? ?An2? 称为矩阵A的伴随??? ? ?Ann? ?A11?A12?其中Aij是|A|????A1n 矩