第5章 矩阵的相抵与相似.doc

§等价关系与集合的划分本节只做简单介绍,考试不考此部分,在以后抽象代数中还会讲到。§矩阵的相抵(也叫等价)第一章§1已经证明,任何一个矩阵经过初等行变换能够化成简化行阶梯形矩阵。如果再对进行列变换,那么能变成什么样的最简单的矩阵?看例子:(以上行变换);再经过列变换。最后这个矩阵非常简单,把它写成分块矩阵的形式就是:。问:任何一个矩阵经过初等行、列变换是否都能够化成这种简单形呢?定义1数域上的矩阵经过一系列初等行变换和初等列变换变成矩阵,则称与是相抵的或等价的,记作,或。矩阵的相抵关系满足1°反身性:,即与自己相抵;2°对称性:若,则;3°传递性:若,,,矩阵的相抵关系是一种等价关系。事实1数域上的矩阵与相抵经过初等行变换和初等列变换变成矩阵存在上的阶初等矩阵与阶初等矩阵,使得存在上的阶可逆矩阵与阶可逆矩阵,使得.(1)定理1设数域上的矩阵的秩为。如果,则相抵于下述形式的矩阵,(2)称矩阵(2)为的相抵标准形。证明如果,则经过一系列初等行变换化成的简化行阶梯形矩阵有个非零行:再经过适当的两列互换,能够变成下述形式:。(3)把的第1列的倍分别加到第列上;接着把的第2列的倍分别加到第列上;…,最后把的第列的倍分别加到第列上,便得到下述形式的矩阵:。因此,相抵于这个矩阵。如果,则,从而。定理2数域上两个的矩阵与相抵当且仅当它们的秩相等。证明必要性。设与相抵,则经过初等行变换和初等列变换变成矩阵。由于初等行变换和初等列变换不改变矩阵的秩,所以与的秩相等。充分性。设,则,。从而。如果,则,与相抵也相抵。注:数域上所有的矩阵组成的集合记为,它显然含有无穷多个矩阵。但由定理2,能够按矩阵的秩把它们分成有限多个类:凡是秩相同的矩阵彼此相抵,把它们分在同一类,称为一个相抵类,秩不相同的矩阵分在不同的类,每一个矩阵都属于某个相抵类。由于,这样一共有个相抵类。当时,一共有个相抵类。推论5设数域上的矩阵的秩为,则存在上的阶可逆矩阵与阶可逆矩阵,使得。(2)应用举例:P163第3,4题§3广义逆矩阵广义逆矩阵是前面一般逆矩阵的推广:一般逆矩阵要求矩阵是方阵,且行列式不能为0,去掉这两个条件之后的矩阵的逆矩阵就是所谓的广义逆矩阵。但是几乎所有的高等代数教材都没有此部分,它超出了高等代数的内容,所以我们不打算讲,也不考试。§4矩阵的相似设是方阵,怎么求的幂?如果有可逆矩阵,使得,并且容易计算,则,于是也就容易计算了。为了寻找较简单的矩阵(容易计算),就需要研究形如的矩阵,并寻找适当的逆矩阵,使得最简单。:设与都是数域上的阶矩阵,如果存在数域上的一个阶可逆矩阵,使得则称与相似,记作。例如,设,,,则,即与相似。由定义容易得出,矩阵的相抵关系也是一种等价关系。1°反身性:,即与自己相似;2°对称性:若,则;3°传递性:若,,,,则,,。相似的矩阵有许多共同的性质:性质1°相似的矩阵有相同的行列式。证明设,则存在可逆矩阵,使得。从而。性质2°相似的矩阵或者都可逆,或者都不可逆;并且当它们可逆时,它们的逆矩阵也相似。证明由性质1°即得结论的前半部分。现在设,且可逆。则存在可逆矩阵,使得。从而,因此。性质3°相似的矩阵有相同的秩。证明设,则存在可逆矩阵,使得。从而与相抵,因此与有相同的秩。矩阵迹的定义:阶矩阵的主对角线上的元素之和称为的迹(trace),记作。即。矩阵的迹具有下列性质:;(5);(6)。(7)(5)(6)由定义很容易验证。(7)的证明如下:设,则,,因此,。性质4°相似的矩阵有相同的迹。证明设,则有可逆矩阵,使得。于是。本节开头指出,如果能相似于一个比较简单的矩阵,譬如说对角矩阵,则就容易计算了。是不是任何一个方阵都能相似于一个对角矩阵?(答案是否定的)。当能够相似于对角矩阵时,如何求对角矩阵和可逆矩阵?数域上的阶矩阵相似于对角矩阵存在数域上的阶可逆矩阵,使得,即,即,即中存在个线性无关的向量,使得,,,。总结成下面的定理就是定理2数域上的阶矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件是:中存在个线性无关的向量,以及中有个数(能够相同),使得,,,。(8)这时,令,则。矩阵可对角化的定义:如果一个阶矩阵能够和一个对角矩阵相似,则称可对角化,把叫做的相似标准形。§5矩阵的特征值与特征向量上一节最后指出,对于一个阶矩阵,能不能找到一个阶可逆矩阵,使得为对角矩阵,关键在于能不能找到个线性无关的向量,满足,,,。由此抽象出特征值与特征向量的概念。定义1设是数域上的阶矩阵,如果中有非零向量,使得,且,(1)则称是的一个特征值,是的属于特征值的特征向量。例如,设,,则,因此,2是的一个特征值,是的属于特征值2的一个特征向量。特征值与特征向量的几何解释:在实数域中,可解释为:经过作用(即)后与共线,并且将扩大,满足这一条件的就是