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2、桁架的有限元分析
桁架的每个杆件都可看作局部坐标系下的拉压直杆,按照上节公式进行单元分析。但桁架结构的各个杆件倾角不同,需要在统一的整体坐标系下建立整体平衡方程,因此需要讨论有关的坐标变换公式。如图6-3所示具有2个结点的桁架单元,置于局部坐标系的横轴上。局部坐标系与整体坐标系成角。
两种坐标系下的桁架单元
根据坐标旋转公式,结点i在局部坐标系下的位移分量, 与整体坐标系下的位移分量, 有下述关系:
同理,
因此,
式中单元结点位移
转换矩阵
同理,整体坐标系和局部坐标系下的结点力之间关系为
在局部坐标系下单元的平衡方程为
式中
上式可看作原单元刚度矩阵的自然扩充。在原单元刚度矩阵中,对应的位移分量是;而在扩充后的刚度矩阵中,对应的位移分量是。
在整体坐标系下单元的平衡方程为
由位移转换方程和结点力转换方程,上式可改写成
将上式两边左乘,得到
将上式与式对比,显然有
或
容易证明,转置矩阵具有以下性质
因此上式可以改写成
最终,在整体坐标系下,单元刚度矩阵可以表达为如下形式:
桁架的载荷通常是作用在结点的集中力。可以直接在整体坐标系下分解为x方向和y方向的结点力分量,从而形成整体坐标系下的结点力向量。对于分布轴向力,可以按公式计算或静力等效原则分配。
例题
如图为一个由两根杆件构成的桁架。杆件的横截面积为A,弹性模量为E,垂直杆长为l,两杆铰接处受到水平方向的外力P。求结点位移和杆中内力。
铰接桁架
解:单元和结点编号如图6-4所示。对于杆1,结点1取为i,结点2取为j,角度。由单元刚度矩阵公式,有
对于杆2,结点2取为i,结点3取为j, 。由单元刚度矩阵公式,有
则整体刚度矩阵为
仅结点2的结点力可以确定:
结构的整体平衡方程为
由结点1,3的约束条件,即,划去上式的第1,2,5,6行与列,得