向量的不合常理性质的研究.doc

向量的不合常理性质的研究何新江向量以其既能体现“形”的直观的位置特征,又具有“数”的良好的运算性质,为广大师生所喜欢。但向量又不同于数量,也不同于线段,它是多方的综合体。对于初学者来讲,个人收集整理勿做商业用途向量的难度就在于它存在着多条与我们已经接受和应用了十几年的数量的运算及几何变换格格不入的法则,存在着一些不合学生以往逻辑的性质;对于使用向量时出现的各种错误也往往出现在这几条与我们固有的、想当然的不相一致的性质、定理上,不妨把这些性质、定理称为“不合常理的性质”。本文根据笔者的日常教学工作,结合学生的学习情况,对向量的“不合常理”的性质罗列研究,敬请同仁斧正。个人收集整理勿做商业用途不合常理1向量不是有向线段,却用有向线段表示。根据向量的定义,向量是既有大小又有方向的量,它可以用有向线段来表示,但有向线段又不等同于向量,有向线段有起点、大小、方向三要素,而向量只有大小和方向,与起点无关。一个向量可用多条有向线段表示,自由向量的可移动性决定了多条不同起点的有向线段表示的可能是同一个向量,从而有向线段与向量就如同“形”与“神”的关系,不管“形”个人收集整理勿做商业用途的位置如何变动,但“神”始终不变,使得利用向量在解题过程中可以有众多的选择机会,在利用某个向量进行证明及运算时,可使用它的多个不同“外壳”,以达到解题目的,当然就更需要学生有较强的转化思想和化归能力。个人收集整理勿做商业用途向量与有向线段的区别还体现在平行(共线)的关系上,有向线段有平行和共线之分,这符合学生的平面几何中对直线的理解,但向量共线即平行,平行即共线,使“个人收集整理勿做商业用途三点共线”成为证明三点共线的好方法,也使“是平行四边形=”是一个错误的结论。常见错误:(1),(错误应用平行直线的传递性);(2)按平移得新向量(对向量的自由理解不深)。不合常理2向量有大小,却不可比较大小。向量是一个有大小的量,它可用数来表示它的大小(模),但它却不可以比较大小,不存在诸如或。同时向量又在一个特殊的时候可以比较大小,既同向又模相等的情况下,存在,这真是有点矛盾,不合常理啊。个人收集整理勿做商业用途不合常理3零向量方向任意,却可平行不可垂直。零向量是一个特殊的向量,它的模是0,但它却不同于0,而是,不仅在书写上有区别,在性质上更有区别。有方向,它的方向是任意的,因此可以作任何向量平行,却不可以与任何向量垂直,因此是错误的,必须加上都是非零向量。前述常见错个人收集整理勿做商业用途误1,也是对零向量认识不清的一种错误体现,有关与0的常见判断题如:();若,则或();若,则且();等等,都是考查师生对与0的辨别能力。不合常理4向量运算满足交换律,分配律,却不满足结合律、消去律。向量运算满足,,却不满足;,它满足完全平方公式、平方差公式,却又不同于简单的完全平方公式。虽然,但却是正确的。错误分析:例1已知为非零向量,为实数,设,当取最小值时,求证:。错解:由,又=,①又由,得当时,取到最小值。所以。②于是得。这是学生较多出现的解法,一般学生都认为自己的证明简捷明了,而且水到渠成,无懈可击,而实际上是漏洞百出,不堪一击,其错误主要在于①中利用了消去律,把和混为个人收集整理勿做商业用途一谈,在②中忽略了,不能得出。不合常理5向量有坐标,但坐标却与向量无关。向量有坐标,可以进行坐标运算,使向量具有