《线性代数的几何意义》之五(矩阵的几何意义(上)).pdf

《线性代数的几何意义》
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任广千编著

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《线性代数的几何意义》
几几何何意意义义名名言言录录

没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了,因此用这种方式来
表达事物是非常有意义的。-------笛卡尔

算术符号是文字化的图形,而几何图形则是图像化的公式;没有
一个数学家能缺少这些图像化的公式。--------希尔伯特

“如果代数与几何各自分开发展,那它的进步十分缓
慢,而且应用范围也很有限,但若两者互相结合而共同发展,
则就会相互加强,并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。”
--------拉格朗日

不会几何学就不会正确的思考,而不会正确思考的人不过是行尸
走肉。--------柏拉图

无论是从事数学教学或研究, 我是喜欢直观的。学习一条数学
定理及其证明, 只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思路弄
明白了, 我才认为真正懂了。--------中国当代数学家徐利治
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《线性代数的几何意义》

第五章矩阵的几何意义
通过前面的章节我们初步了解到,解线性方程组的克莱姆法则使用了行列式理论,但克莱姆法则只
能用于解方程个数等于未知数个数的方程组,而且系数行列式不能等于 0。即使以上条件都满足,也要计
算 n+1 个 n 阶行列式。实际工程中的 n 一般很大,即使在现代计算机技术面前,计算效率也不能使人满
意。
在用消元法解各种类型的线性方程组时,一系列问题出现了:当系数行列式等于 0 时,方程组是否
有解?若有解又如何求出?当未知量个数与方程的个数不等时,线性方程组的解又如何?
要深入探讨这些问题除了向量概念外还需要引入矩阵的理论。到 1858 年,哈密尔顿()
和凯莱(-ley)的著作中出现了矩阵的运算,从行列式到矩阵的出现,大约经过了 100 多年的时间。
我们知道,在直角坐标系中,一个有序的实数数组(,)ab 和(,,)abc 分别代表了平面上和空间上的一
个点,这就是实数组的几何意义。类似的,在线性空间中如果确定了一个基,线性映射就可以用确定的
矩阵来表示,这就是矩阵的几何意义:线性空间上的线性映射。
矩阵独立的几何意义表现为对向量的作用结果。矩阵对一个向量是如何作用的?矩阵对多个向量是
如何作用的?矩阵对一个几何图形(由无数向量组成的几何图形)是如何作用的?在矩阵对一个几何图
形的作用研究中,我们会发现一些有规律的东西比如特征向量、秩等等。
. 矩阵的概念
矩阵的本质就是一个长方形的数表,在生活中的所有长方形数表都可以看成是矩阵。矩阵和行列式
相似,也是以行和列组织的矩形数字阵列,因此称为矩阵。与行列式的表示法不同,矩阵是用方括号把
数字块括起来,表示一个有顺序有组织的数据块;而行列式是对这些数据块进行的一个运算,是一个算
式,故称为行列式。矩阵的一个三阶例子如下:
⎡abc11 1⎤
⎢⎥
abc
⎢ 222⎥
⎢⎥
⎣abc333⎦
如果用数组来统一定义标量、向量和矩阵的话就是:标量是一维向量,向量是标量的数组,矩阵则
T T
是向量的数组。例如上面介绍的矩阵我们如果使用列向量 a = ()aaa123,, , b = ()bbb123,, ,
T
c = (ccc123,,)来表示它,这个矩阵就可以写作:[abc]。
当然,矩阵不只是只有几何意义,也具有现实的物理意义,矩阵的运算也都可以从实践中找到。下
面有个例子:
比如某家电器公司的制造厂有几个生产线,产线在 2009 年和 2010 年的上半年的产出量的统计表如
下:
顺序产线名 2009 年上半年的每月产出量
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《线性代数的几何意义》
1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月
1 冰箱线 22 35 30 23 25 12
2 吸尘器 25 43 32 34 35 30
线
3 电视线 23 23 34 44 40 45

顺序产线名 2010 年上半年的每月产出量
1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月
1 冰箱线 22 34 30 23 25 12
2 吸尘器线 24 43 32 34 35 34