《线性代数的几何意义》之三(行列式的几何意义).pdf

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任广千胡翠芳编著

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《线性代数的几何意义》
几几何何意意义义名名言言录录

没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了,因此用这种方
式来表达事物是非常有意义的。-------笛卡尔

算术符号是文字化的图形,而几何图形则是图像化的公式;
没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。--------希尔伯特

“如果代数与几何各自分开发展,那它的进步十分缓
慢,而且应用范围也很有限,但若两者互相结合而共同发展,
则就会相互加强,并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。”
--------拉格朗日

不会几何学就不会正确的思考,而不会正确思考的人不过是
行尸走肉。--------柏拉图

无论是从事数学教学或研究, 我是喜欢直观的。学习一条数
学定理及其证明, 只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思
路弄明白了, 我才认为真正懂了。--------中国当代数学家徐利治
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第三章行列式的几何意义
在中国古代,用筹算表示联立一次方程未知量的系数时,就有了行列式的萌芽-----排列的方
式。日本吸收了这种思想,在 1683 年,日本学者关孝和(Seki Takakusu)对行列式的概念和它的
展开已有了清楚的叙述。到 18 世纪,瑞士数学家克莱姆()和法国数学家拉普拉斯
()建立了行列式理论。
行列式的几何意义具有深刻的含义。它是指行列式的行向量或列向量所构成的平行多面体的有
向体积。这个有向体积是由许多块更小的有向面积或有向体积的累加。在我们逐步地讨论这个几何
意义之前,先来回顾一下行列式的定义。
. 行列式的定义
行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。当然,如果行列式中
含有未知数,那么行列式就是一个多项式。它本质上代表一个数值,这点请与矩阵区别开来。矩阵
只是一个数表,行列式还要对这个数表按照规则进一步计算,最终得到一个实数、复数或者多项式。
行列式分阶,比如二阶行列式、三阶行列式直至 n 阶行列式。下面我们罗列了各阶行列式的定
义(以拉普拉斯展开定理的形式给出了定义,这样可以使各阶行列式看起来有规律),以方便后面
的论述:
z 一阶行列式:
aa11=
一阶行列式就等于元素 a1 自己。各位看官注意啊,a1 值可正可负,行列式两条竖线的记号不要
当成绝对值的符号。
z 二阶行列式
aa12
=⋅ab12 −⋅ ab 21 = abab 122 − 1
bb12
这个结果是不是很面熟?有点像三维向量叉积的第三个元素。你看,
ab×=(,a123 a , a )(,,) × b 123 b b = ( ab 23 − ab 32 , ab 311312 − ab , ab − ab 21 )。注意叉积是和有向面积联
系在一起的。
z 三阶行列式
aa12 a 3
bb23 bb13 bb12
bbb123=⋅ a 1 −⋅ a2 +⋅ a3
12
cc12 c 3
=++−−−abc123 abc 231 abc 312 abc 132 abc 213 abc 321
《线性代数的几何意义》
三阶行列式的计算比较常用,务必记住上式。上式帮助记忆之经典的展开运算法是对角线法,
这个大家都知道,不再多讲。但为使对角线法看起来更有规律,这里稍稍改变了一下,图如下:
a1 a2 a3 a1 a2 a3
b b b
1 b2 b3 1 2 b3
c c c c
1 2 c3 1 2 c3

把行列式的元素依序排在圆柱体的外圆上,沿右下方向的乘积顺序得到正符号(左图),沿左
下方向的乘积顺序得到负符号(右图)。如果把圆柱体拓扑变形为圆锥体,它的顶视图如下,运算
顺序很有规律和美感,如下:
-
+ c3
b3
+
a3
b a
c1 1 1
a2
- b
2 -
c2
+

图中,行向量沿圆的逆时针方向排列元素,列向量沿原的半径方向排列。乘积项的元素分布