线性代数与几何--------第四章.ppt

第一节线性方程组的消元法
第二节齐次线性方程有非零解的条 件及解的结构
第三节非齐次线性方程有解的条 件及解的结构
第四章线性方程组
线性方程组的消元解法
一、线性方程组的形式
二、线性方程组的消元解法
第四章线性方程组
§
一、线性方程组的形式
设 n 个元 m 个方程的线性方程组为
A11x1 + a12x2 +…+ a1nxn= b1 ,
A21x1 + a22x2 +…+ a2nxn= b2 ,
……………
Am1x1 + am2x2 +…+ amnxn= bm .
(1)
注意: m 可以大于 n ,小于 n ,等于 n .
记
则(1)式可写成如下矩阵形式:
AX = b ,
(2)
称 A 为线性方程组的系数矩阵.
第四章线性方程组
(3)
若将系数阵 A 按每个列为一子块进行分块,即
A=(1, 2, …, n ) ,
则方程组又可写成向量形式:
x11+ x22+ …+ xnn=b .
记
称 A 为线性方程组的增广矩阵.
当方程组右边的常数项不全为 0, 即 b  0 时,称 AX = b 为非齐次线性方程组,而称 AX= 0 为齐次线性方程组.
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定理1
第四章线性方程组
二、线性方程组的消元解法
消元法的三种基本运算包括:
1. 对换两个方程的位置;
2. 用一个数去乘一个方程加到另一个方程上;
3. 用一个非零数去乘一个方程.
这三种运算称为线性方程组的初等变换.
设将方程 AX = b 的增广矩阵 A = [A, b] 进行初等行变换所得到的矩阵为 D = [D, d], 则 D 所对应的方程 DX = d 与原方程AX = b同解.
AX = b
A = [A, b]
D = [D, d],
DX = d
同解方程
初等行变换
一一对应
一一对应
§
例 1
解
解线性方程组
x1 + x 2 + x3 = 1 ,
x1+ 2x2  5x3 = 2 ,
2x1+3x2  4x3 = 3 .
第四章线性方程组
最后一个矩阵所对应的线性方程组为
x1+ 7x3 = 1 ,
x26x3 = 1 .
它与原方程组同解,取 x3 = C, 得 x1 = 17C, x2 = 1+6C,
即原方程组解为
x 1= 1 7C ,
x2 = 1+ 6C, 其中 C 为任意实数.
x3 = C ,
将解写成向量形式( x1, x2, x3 )T = (17C , 1+6C, C )T.
例1中,方程组的解含有任意常数,称之为方程组的一般解或通解.
若向量是 AX=b 的解,且不含任意常数,则称是 AX=b 的一个特解.
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第四章线性方程组
例 2
求下列线性方程组的解:
x1 – x2 + 5x3 – x4 = 0 ,
x1 + x2 – 2x3 + 3x4 = 0 ,
3x1 – x2 + 8x3 + x4 = 0 ,
x1 + 3x2 – 9x3 + 7x4 = 0 .
解
最后一个矩阵所对应的线性方程组为
C1, C2  R .
取 x3 = C1, x4 = C2 得方程组的解为:
上述求解过程是将线性方程组的增广矩阵进行初等行变换化阶梯形,从而得到简化的同解方程组,达到消元与求解方程的目的,这种利用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法称为高斯消元法(或矩阵消元法).
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齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构
一、齐次线性方程组有非零解的条件
二、齐次线性方程组解的结构
第四章线性方程组
齐次线性方程组形如
AX = 0 ,
或 x11 + x22 +…+ xnn = 0 , (5)
方程组显然有解 X = (0, …, 0)T = 0 .
(4)
系数矩阵 A 满足什么条件,AX = 0 有非零解?其非零解是否唯一?其通解的形式如何?
§
一、齐次线性方程组有非零解的条件
定理1
AX = 0 有非零解的充要条件是系数阵 A 的秩 r(A) 小于未知数的个数 n .
Ax = 0有非零解.
存在不全为零的实数 x1, x2, …, xn 使x11+x22+…+xnn = 0.
向量组1, 2, …,  n 线性相关.
向量组1, 2, …,  n 的秩小于n.
 r(A) < n.
证
推论3
当 m = n 时, AX = 0 有非零解| A | = 0.
AX = 0 只有零解| A |  0.
推论1
AX = 0