《线性代数的几何意义》之二(向量的几何意义).pdf

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任广千胡翠芳编著

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几几何何意意义义名名言言录录

没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了,因此用这种方
式来表达事物是非常有意义的。-------笛卡尔

算术符号是文字化的图形,而几何图形则是图像化的公式;
没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。--------希尔伯特

“如果代数与几何各自分开发展,那它的进步十分缓
慢,而且应用范围也很有限,但若两者互相结合而共同发展,
则就会相互加强,并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。”
--------拉格朗日

不会几何学就不会正确的思考,而不会正确思考的人不过是
行尸走肉。--------柏拉图

无论是从事数学教学或研究, 我是喜欢直观的。学习一条数
学定理及其证明, 只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思
路弄明白了, 我才认为真正懂了。--------中国当代数学家徐利治
《线性代数的几何意义》

第二章向量的基本几何意义
向量的概念始终贯穿当代科学的主要内容中,也始终贯穿线性代数的主要内容中,所以我们不
妨回顾回顾这个概念的几何意义,以期更清晰地理解线性代数的几何本质。
向量概念的几何意义
自由向量的概念
向量(Vector)和标量的概念是发明四元数的爱尔兰数学家W。R。哈密尔顿给出的。向量是一
个既有大小又有方向的量,这个量本身就是个几何的概念。我们常常把它与标量(只有大小的量)
相区别。抓住向量的大小和方向这两个特征,一般用一个有向线段来表示一个向量(显然,向量本
uuur
身就是一个几何图形),记为 AB 或者α。如下图:
B
A

在物理学中,也把向量叫矢量,矢就是箭,向量如一根箭一样有头部和尾部,箭在空间自由的
飞行中箭杆的长度不会变,这一点与向量相同;但箭在重力的作用下会改变方向,但一个确定的向
量不允许改变方向,一个向量改变了方向就变成了另外一个向量了。所以向量的“飞行”称为平移,
这种在一条直线上平移的向量称为自由向量(物理学中常称为滑动向量)。
0
沿着直线飞行的箭簇在每一时刻所表示的无数向量归属于同一个向量,这些无数的向量实际上
是平行的向量。另外还有不在一条直线上的平行而相等的向量,如下的例子:
考察一个刚体的平行移动。当刚体从一个位置平行移动到另一个位置时(比如说这个刚体是麦
吉小姐过河坐的小船,小船从河流的一边驶向对岸),刚体上各质点在同一时间段内有相同的位移,
各点所画出的位移向量a有相同的大小和方向,他们每一个都反映了刚体位移的情况,因此刚体的
平移运动可以用这些向量中的任一个来表示。基于这样的原因,凡是两个向量大小相等、方向相同
的,我们就说这两个向量是相等的。因此,一个向量在保持长度和方向不变的条件下可以自由平移。
如有必要,也可以将几个向量平移到同一个出发点或者坐标原点。

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《线性代数的几何意义》

船速向量
水流速度向量 a
a
a
a

从上面的例子,我们感悟到自由向量为何可以是自由的。实际上,就是因为向量没有确定的位
置,它们不依赖于任何坐标系而存在。因此从逻辑上看,无数的向量可能有相同的表述,所有的这
些向量都互相平行,相等,并具有相同的量值和方向。
向量的数学表示
向量的数学表示一般是用小写的黑体字母 a、b、c 等表示。当手写时因为黑体的粗笔画书写不
r r r
方便,因此常在字母上面加上箭头来与其它字母区别,如 a 、 b 、 c 。
以上的表示不便计算,如何对向量象数字一样进行运算呢?
因为在数学学科中,向量被处理为自由向量,为了与解析技术所用的坐标联系起来,我们把空
间中所有的向量的尾部都拉到坐标原点,这样 N 维点空间可以与 N 维向量空间建立一一对应关系:
N 维点空间中点(0,0,0…0)取作原点,那么每一个点都可以让一个向量和它对应,这个向量就是
从坐标原点出发到这个点为止的向量。
注:
向量被看作线性空间或向量空间中的一个元素。但向量与点不同,向量表示的是两点之间的位
移而不是空间中的物理位置;向量还可以确定方向,而一个