《线性代数的几何意义》之四_(_向量组及向量空间的几何意义_).pdf

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任广千胡翠芳编著

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《线性代数的几何意义》
几几何何意意义义名名言言录录

没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了,因此用这种方
式来表达事物是非常有意义的。-------笛卡尔

算术符号是文字化的图形,而几何图形则是图像化的公式;
没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。--------希尔伯特

“如果代数与几何各自分开发展,那它的进步十分缓
慢,而且应用范围也很有限,但若两者互相结合而共同发展,
则就会相互加强,并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。”
--------拉格朗日

不会几何学就不会正确的思考,而不会正确思考的人不过是
行尸走肉。--------柏拉图

无论是从事数学教学或研究, 我是喜欢直观的。学习一条数
学定理及其证明, 只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思
路弄明白了, 我才认为真正懂了。--------中国当代数学家徐利治
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《线性代数的几何意义》

第三章向量组及向量空间的几何意义
向量组的关键概念是线性相关性及其秩的概念,在向量组张成的向量空间里,基、维数、坐标
及基变换等也是些有点让人头疼的东东。本章就是要从几何图形上弄清这些概念,让抽象的概念回
归形象的几何解释。
. 向量组的几何意义
向量组是对有限个向量集合的研究,对向量组的性质了解清楚后,就会对矩阵和线性方程组的
性质认识更加深入。因为矩阵实际上就是一个有序向量组。线性方程组实际上就是向量组的线性表
示。因此,在开展矩阵及方程组的研究之前,有必要先研究清楚向量组的问题。
向量组里的向量们有哪些特性呢?有什么共性?有没有不变量?
有,这个不变的特性就是一个叫“秩”的东东。下面我们来慢慢探究一下。
. 线性表示、组合及相关性的意义
向量的线性表示和组合的几何意义
先看看下面的图中平面向量集合。这个集合有七个二维向量。用坐标表示出来就是:
α1 = (2, 1), α2 = (3, 3) , α3 = (1 , 2) , α4 = (1,1)−, α5 = (2,2)−, α6 =−(3,1) −,
α7 =−(2, 2) 。
仔细观察后发现:
4
y
3
α2
2 α3
α5
1
α4
α1
x
-2 0 2 4
α6
-1
α7
-2
向量α2 可以两个向量α1 和α3 向加得到,即ααα21= + 3;
向量α5 可以由α4 乘以 2 得到,也可以由α7 乘以-1 得到,即αα54= 2 或αα57=−;
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《线性代数的几何意义》
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甚至,向量α也可以由α的数乘和α数乘之和得到,即αα=−−α;
6 2 7 62327
…
上面的例子是说,一个向量可以由另外一个或几个向量(向量组)用数乘之和的形式表示出来,
一般表达式就是: β= x12α12+ xxα+...+ sαs, x12,xx ,... s 是常数;这里称之为向量β可以由向量
组{ αα12, ,... αs }线性表示。或者讲,向量β是向量αα12, ,... αs 的线性组合。
我们研究一下线性表示的表达式β= x12α12+ xα+ ... + x sαs,明显的:向量α1 数乘 x1 ,向量α2
数乘 x2 ,…,然后把数乘后的向量相加起来就得到了一个新的向量β。反过来讲,一个向量β被分
解为几个向量的倍数。所以我们得到一个结论:
线性组合或表示式实质上是向量的数乘和加法的综合。
在第二章的向量介绍中,我们知道,数乘的几何解释就是在原向量的直线上向量长度的伸长或
缩短;两向量相加的几何解释就是进行依照平行四边形法则对向量合并;因此向量的线性组合的几
何意义就是对向量组内的向量长度进行缩放后依照平行四边形法则进行合并加;线性表示的几何意
义就是可