证明等比数列的常用方法.doc

证明等比数列的常用方法江西省吉安县立中学龚达佳联系电话:**********邮编:343100等比数列是高中数学中的重要内容,等比数列的证明也逐步成为高考中的热点,现通过几个例题来阐述如何解决等比数列的证明问题。例1:已知an=(-1)n-1()n(n∈N*)。求证数列{an}为等比数列。[分析]要证{an}是等比数列,根据条件只需证明的值是一个与n无关的非零常数。[证明]∵an=(-1)n-1()n,∴an+1=(-1)n()n+1,∴==-(常数)。∴{an}是等比数列。[点评]根据等比数列的定义来判断或证明一个数列为等比数列是最常用、最重要的方法。即定义法:=q(q是不为零的常数,n∈N*)<=>{an}是等比数列。例2:设数列{an}的首项为a1=1,前n项和Sn满足关系式3kSn+(2k+3)Sn-1=3k,k是大于0的常数,n=2、3、4……,求证:数列{an}为等比数列。S1(n=1)[分析]利用an=,把条件Sn-Sn-1(n≥2)3kSn+(2k+3)Sn-1=3k转化为an与an-1间的关系,再利用等比数列的定义加以证明。[证明]∵3kSn+(2k+3)Sn-1=3k,∴3kSn-1+(2k+3)Sn-2=3k(n>2),两式相减,得:3kan+(2k+3)an-1=0,即=-(n≥3)(常数).(1)又S1=a1=1,S2=a1+a2=1+a2,∴3k(1+a2)+(2k+3)×1=3k,∴a2=-,∴=-.(2)根据(1)(2)知数列{an}是首项为1,公比为-的等比数列。[点评]用定义证明一个数列为等比数列时,若所给递推公式没有包括第一项,第二项与第一项的比一定要单独考虑。若=q(n≥3,q为常数),当=q时,则{an}(n∈N*)为等比数列,当≠q时,则{an}(n∈N*)不是等比数列。例3:已知数列{an}中,Sn是它的前n项和,且Sn+1=4an+2(n∈N*),设bn=an+1-2an(n∈N*),求证:数列{bn}是等比数列。[分析]同例2一样,先把Sn+1=4an+2转化为an与an-1之间的关系,再由bn=an+1-2an化为bn与bn-1间的关系,然后根据等比数列的定义证明即可。[证明]∵Sn+1=4an+2,∴Sn=4an-1+2(n≥2,n∈N*)两式相减得:an+1=4an-4an-1,即an+1-2an=2(an-2an-1)对任意n≥2(n∈N*)成立,∴=2,即=2.∴数列{bn}是等比数列。S1(n=1)[点评]本题考查运用an=把条件转化为an与an-1之间Sn-Sn-1(n≥2),的关系,再运用辅助数列法,转化成新数列bn与bn-1之间的关系,体现了数学中的转化思想。例4:若a、b、c成等比数列,试证:a2+b2、ab+bc、b2+c2也成等比数列。[分析]利用等比中项的定义,只需证(ab+bc)2=(a2+b2)(b2+c2)成立即可。[证明]∵a、b、c成等比数列,∴abc≠0,b2=ac。∴a2+b2=a2+ac=a(a+c),b2+c2=ac+c2=c(a+c),∴(a2+b2)(b2+c2)=a